Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Satz des Ptolemäus

Satz des Ptolemäus

Satz des Ptolemäus, vier Punkte $A,B,C,D$ in der Ebene, rechts ein sogenanntes Sehnenviereck $ABCD$

Für vier Punkte $A,B,C,D$ in der Ebene gilt

$\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{DA}\ge \overline{AC}\cdot \overline{BD}.$

Gleichheit tritt genau dann ein, wenn $A,B,C,D$ in dieser Reihenfolge oder einer zyklischen Vertauschung davon auf einem Kreis oder einer Geraden liegen.

Insbesondere gilt: Ist $ABCD$ ein Sehnenviereck, so ist die Summe der Produkte der Längen gegenüberliegender Seiten gleich dem Produkt der Längen der Diagonalen, als Formel

$a\cdot c+b\cdot d=e\cdot f$

mit

$a=\overline{AB},b=\overline{BC},c=\overline{CD},d=\overline{DA},e=\overline{AC},f=\overline{BD}.$

Beweis mit komplexen Zahlen

Wir identifizieren Punkte mit komplexen Zahlen, die zu beweisende Ungleichung lautet dann

$|A-B|\cdot |C-D|+|B-C|\cdot |A-D|\ge |A-C|\cdot |B-D|.$

Der Betrag ist multiplikativ, also ist dies dasselbe wie

$|AC-AD-BC+BD|+|AB-BD-AC+CD|\ge |AB-AD-BC+CD|.$

In dieser Form folgt die behauptete Ungleichung direkt aus der Dreiecksungleichung

$|u|+|v|\ge |u+v|.$

Für die Bestimmung des Gleichheitsfalles nehmen wir o.B.d.A. an, dass $A=0$ gilt. Die Ungleichung wird dann zu

$|BD-BC|+|CD-BD|\ge |CD-BC|.$

Ist ein weiterer der Punkte null, so tritt offenbar der Gleichheitsfall ein; andernfalls kann man durch $|BCD|$ teilen und erhält

$|\frac{1}{C}-\frac{1}{D}|+|\frac{1}{B}-\frac{1}{C}|\ge |\frac{1}{B}-\frac{1}{D}|.$

Gleichheit tritt somit genau dann ein, wenn $1/B,1/C,1/D$ in dieser Reihenfolge auf einer Geraden $g$ liegen.

Die Abbildung $z\mapsto \frac{1}{z}$ ist die Verkettung der Inversion am Einheitskreis mit der Spiegelung an der reellen Achse. Es gibt nun zwei verschiedene Fälle:

• $g$ enthält den Ursprung: In diesem Fall ist $g$ das Bild einer Ursprungsgeraden $h$, und $A,B,C,D$ in dieser Reihenfolge oder einer zyklischen Vertauschung davon auf $h$.
• $g$ enthält den Ursprung nicht: In diesem Fall ist $g$ das Bild eines Kreises $k$, und $A,B,C,D$ liegen in dieser Reihenfolge auf $k$.

Weblinks

• Beweis des Satzes von Ptolemäus (mit Umkehrung) mit geometrischen Mitteln der gymnasialen Mittelstufe, Landesbildungsserver Baden-Württemberg

Wikipedia-Verweise

Sehnenviereck · Inversion

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