Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Japanischer Satz für konzyklische Vierecke

Voraussetzung

$◻ABCD$ sei ein nicht überschlagenes Sehnenviereck.

Ferner sei

• $M_1$ der Mittelpunkt des Inkreises von $\mathrm{△}ADB,$
• $M_2$ der Mittelpunkt des Inkreises von $\mathrm{△}ACB,$
• $M_3$ der Mittelpunkt des Inkreises von $\mathrm{△}DCB$ und
• $M_4$ der Mittelpunkt des Inkreises von $\mathrm{△}ADC$.

Behauptung

$◻M_1{M}_2{M}_3{M}_4$ ist ein Rechteck.

Beweis

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|$

(im folgenden $\alpha$-Winkel genannt) weil beide Winkel Umfangswinkel zur Sehne $\overline{AD}$ sind. Daraus folgt, dass

$\left|\sphericalangle A{M}_{1}D\right|=\left|\sphericalangle A{M}_{4}D\right|=90^{\circ }+\frac{\left|\alpha \right|}{2}$

weil

$\left|\sphericalangle A{M}_{1}D\right|=180^{\circ }-\frac{\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}=180^{\circ }-\frac{180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABD\right|}{2}=\underset{\_}{\underset{\_}{90^{\circ }+\frac{\left|\alpha \right|}{2}}}$

Durch die Gleichheit dieser Winkel ist $◻A{M}_1{M}_{4}D$ ein Sehnenviereck.

Durch die Eigenschaften der Sehnenvierecke gilt jetzt $\left|\sphericalangle M_1{M}_{4}D\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle DA{M}_1\right|$

Alle Aussagen gelten analog auch für $◻DC{M}_4{M}_3$

Also gilt auch

$\left|\sphericalangle D{M}_4{M}_3\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|$

Durch Addition der Winkel kommt folgendes heraus

$\left|\sphericalangle M_1{M}_{4}D\right|+\left|\sphericalangle D{M}_4{M}_3\right|=360^{\circ }-\left|\sphericalangle DA{M}_1\right|-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|=360^{\circ }-\frac{\left|\sphericalangle DAB\right|+\left|\sphericalangle BCD\right|}{2}=360^{\circ }-\frac{180^{\circ }}{2}=\underset{\_}{\underset{\_}{270^{\circ }}}$

Da

$\sphericalangle M_1{M}_4{M}_3=270^{\circ }$

gilt

$\sphericalangle M_3{M}_4{M}_1=90^{\circ }$

Da alle Aussagen analog für die anderen Winkel zwischen den Mittelpunkten gelten, betragen sie alle $90^{\circ }$.

Somit ist $◻M_1{M}_2{M}_3{M}_4$ ein Rechteck. q.e.d. (quod erat demonstrandum = was zu beweisen war)