Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader

Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader

Diagonalendreieck im Quader

Gegeben sei ein Quader mit den Seitenlängen   $x,y,z>0$   .

In diesem Quader werden die Diagonalen von drei an einer gewissen Ecke — etwa   $D$   — zusammenstoßenden Seitenrechtecken in einem zusammenhängenden Streckenzug so verbunden, dass die davon umfassten Punkte ein Dreieck   $\mathrm{△}=\mathrm{△}ABC$   bilden, das ganz in dem Quader enthalten ist, dessen Ecken   $A,B,C$   zugleich Ecken des Quaders sind und welches der Ecke   $D$   derart gegenüberliegt, dass die so entstehende geometrische Figur   $ABCD$   eine Pyramide darstellt.

Dieses Dreieck   $\mathrm{△}$   soll im Folgenden kurz als Diagonalendreieck bezeichnet werden.

Es ist nun die Aufgabe, eine Formel für den Flächeninhalt   $F_{\mathrm{△}}$   dieses Diagonalendreiecks   $\mathrm{△}$   in Anhängigkeit von den Seitenlängen $x,y,z$ zu bestimmen.

Diese Formel lässt sich bestimmen unter Benutzung der Formel des Heron und aufgrund der Tatsache, dass die Seitenlängen von   $\mathrm{△}$   nach dem Satz des Pythagoras offenbar wie folgt von den Seitenlängen $x,y,z$ abhängen:

$a=\sqrt{x^2+y^2}$

$b=\sqrt{x^2+z^2}$

$c=\sqrt{y^2+z^2}$

Also hat man zusammen mit der Identität

$s=\frac{a+b+c}{2}$

zunächst

$\begin{array}{cc}16{F_{\mathrm{△}}}^2& =16s(s-a)(s-b)(s-c)\\ & =(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\\ & =((b+c{)}^2-a^2)(a^2-(b-c{)}^2)\\ & =a^2((b-c{)}^2+(b+c{)}^2)-a^4-(b^2-c^2{)}^2\\ & =2a^2(b^2+c^2)-a^4-(b^2-c^2{)}^2\end{array}$   .

Durch Einsetzen ergibt sich dann

$\begin{array}{cc}16{F_{\mathrm{△}}}^2& =2(x^2+y^2)(x^2+y^2+2z^2)-(x^2+y^2{)}^2-(x^2-y^2{)}^2\\ & =2(x^2+y^2)(x^2+y^2+2z^2)-(2x^4+2y^4)\end{array}$

und weiter

$\begin{array}{cc}8{F_{\mathrm{△}}}^2& =(x^2+y^2)((x^2+y^2)+2z^2)-x^4-y^4\\ & =x^4+2x^2{y}^2+y^4+2z^2(x^2+y^2)-x^4-y^4\\ & =2x^2{y}^2+2x^2{z}^2+2y^2{z}^2\end{array}$   .

Also folgt schließlich

$\begin{array}{cc}{F}_{\mathrm{△}}& =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{x^2{y}^2+x^2{z}^2+y^2{z}^2}\\ & =\frac{xyz}{2}\cdot \sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}\end{array}$   .

q.e.d

Dieser Beweis lässt sich mit Hilfe der obigen Skizze Diagonalendreieck im Quader gut nachvollziehen.

Hat der gegebene Quader z. B. eine quadratische Grundfläche mit einer Kantenlänge $1$ und eine Höhe mit der Länge $2$, ergibt sich das Diagonalendreieck als gleichschenkliges Dreieck $\mathrm{△}=\mathrm{△}ABC$ mit $a=\sqrt{2},b=\sqrt{5}$ und $c=\sqrt{5}$.

I

Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks $F_1\mathrm{△}$ in Flächeneinheiten [FE] auf die herkömmliche Weise:

zunächst ist die Höhe nach dem Satz des Pythagoras zu bestimmen

$h=\sqrt{\sqrt{5}{}^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}$

durch Umformen ergibt sich

$h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{18}$

nach dem Einsetzen der Werte für $a$ und $h$ in die allgemeine Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ist

$\begin{array}{cc}{F}_1\mathrm{△}& =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{18}\\ & =\frac{1}{4}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{18}\\ & =\mathrm{1,5}[FE]\end{array}$   .

II

Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks $F_2\mathrm{△}$ in Flächeneinheiten [FE] nach der oben bestimmten allgemeinen Formel:

$\begin{array}{cc}{F}_2\mathrm{△}& =\frac{xyz}{2}\cdot \sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}\end{array}$

nach dem Einsetzen der Werte für $x=1$, $y=1$ und $z=2$ ergibt sich

$\begin{array}{cc}{F}_2\mathrm{△}& =\frac{2}{2}\cdot \sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}\\ & =\mathrm{1,5}[FE]\end{array}$

III

Der Vergleich der beiden Ergebnisse zeigt:

$F_1\mathrm{△}=F_2\mathrm{△}$.