Beweisarchiv: Geometrie: Konjugierte Durchmesser

In einem kartesischen Koordinatensystem sei $a$ die Hauptachse, $b$ die Nebenachse einer Ellipse.

Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern

• Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) $\overline{P{P}^{\prime }}$ alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser $\overline{Q{Q}^{\prime }}$. Man nennt $\overline{Q{Q}^{\prime }}$ den zu $\overline{P{P}^{\prime }}$ konjugierten Durchmesser. (1)
• Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen. In der Zeichnung stimmt also der zu $\overline{Q{Q}^{\prime }}$ konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser $\overline{P{P}^{\prime }}$ überein. (2)
• Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers (etwa $\overline{P{P}^{\prime }}$) sind parallel zum konjugierten Durchmesser (im Beispiel $\overline{Q{Q}^{\prime }}$). (3)
• Haupt- und Nebenachse sind das einzige Paar orthogonaler konjugierter Durchmesser. (4.1)
• Ist die Ellipse ein Kreis, so sind genau die orthogonalen Durchmesser (auch) konjugiert. (4.2)
• Sind konjugierte Durchmesser nicht orthogonal, so ist das Produkt ihrer Steigungen $\frac{-b^2}{a^2}$. (5)
• Seien $d_1$, $d_2$ konjugierte Durchmesser. Dann ist $(\frac{d_1}{2}{)}^2+(\frac{d_2}{2}{)}^2=a^2+b^2$. (Erster Satz des Apollonius) (6.1)
• Für jedes Paar von konjugierten Halbmessern $\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}$ hat das von diesen innerhalb der Ellipse aufgespannte Dreieck $\mathrm{\Delta }$ stets denselben Flächeninhalt $F_{\mathrm{\Delta }}$, nämlich $F_{\mathrm{\Delta }}=\frac{a\cdot b}{2}.$ (Zweiter Satz des Apollonius) (6.2)

Beweis:

Konzept des Beweises insgesamt

• Der Beweis dehnt die Bilinearform der Polare (a.a.O unter "E.") auf weitere Geraden aus, die Obermengen der betrachteten Durchmesser sind (und als Zentralen bezeichnet werden, s.u.). Aus der Beobachtung, dass die gleiche Bilinearform auf zwei verschiedene Arten als Zentrale deutbar ist, lässt sich ein Beweis sämtlicher angeführter Aussagen entwickeln, ohne dass Winkelfunktionen, Parameterformen oder eine affine Abbildung eingeführt werden.
• Wenn eine Aussage über einen Durchmesser direkt aus einer entsprechenden Aussage über die ihn enthaltende Zentrale folgt, wird dies nicht explizit formuliert.
• Ein Spaltenvektor $\overrightarrow{v}$ und der durch Transposition entstehende Zeilenvektor ${\overrightarrow{v}}^T$ bezeichnen das gleiche geometrische Objekt. Die jeweilige Schreibweise richtet sich nach der Definiertheit des Matrizenprodukts.
• Ein Punkt wird durch seinen Ortsvektor bezeichnet, die Sprechweise nicht unterschieden (also etwa "Punkt $\overrightarrow{v}$" für einen Punkt mit dem entsprechenden Ortsvektor usw.).

Definitionen und einfache Aussagen

A. Defintionen: Zentrale und konjugierte Zentrale, Richtung und Polrichtung

• Mit $\alpha =\frac{1}{a^2},\beta =\frac{1}{b^2}$ hat die betrachtete Ellipse die Form $1=\alpha x^2+\beta y^2$.
• Sei $M=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$.
• Für jeden beliebigen, aber festen Punkt ${\overrightarrow{s}}^T$ beschreibt die Gleichung

${\overrightarrow{s}}^{T}M\overrightarrow{t}=0$ (i)

eine Ursprungsgerade mit (Normalenvektor ${\overrightarrow{s}}^{T}M$ und) Punkten $\overrightarrow{t}$, die in Anlehnung an den entsprechenden Begriff für Kreise im Folgenden als Zentrale $z$ der Ellipse bezeichnet wird. Jeder Punkt $\overrightarrow{t}$ einer Zentrale ist gleichzeitig ein Richtungsvektor derselben. Ein (beliebiger) Richtungsvektor $\overrightarrow{t}$ wird auch metonymisch als Richtung der Zentrale bezeichnet, denn zur Kennzeichnung der Geradenrichtung kommt es nicht auf den Skalar an, der die Punkte $\overrightarrow{t}$ einer gegebenen Zentrale voneinander unterscheidet.

• Der Vergleich mit eine Polarengleichung ${\overrightarrow{s}}^{T}M\overrightarrow{t}=1$ mit Pol ${\overrightarrow{s}}^T$ motiviert die Auffassung von ${\overrightarrow{s}}^T$ als "unendlich ferner Pol" der Zentrale, von dem nur die Richtung bekannt ist, und der hier als Polrichtung der Zentrale bezeichnet wird. Die die Polrichtung keinen Betrag hat, ist auch jeder Vektor $\lambda {\overrightarrow{s}}^T$, $\lambda \ne 0$ zu ihrer Bezeichnung zulässig.
• Wird ein beliebiger Punkt $\overrightarrow{t}\in z$ als Polrichtung aufgefasst, so beschreibt (i) eine weitere Zentrale mit (Normalenvektor $M\overrightarrow{t}$ und) Punkten ${\overrightarrow{s}}^T$, die als konjugierte Zentrale $z^{\prime }$ (zu $z$) bezeichnet wird.

Die eingeführte Begrifflichkeit definiert die Äquivalenz folgender Aussagen:

"(i) beschreibt eine Zentrale $z$ mit Punkten $\overrightarrow{t}$."

"(i) beschreibt eine Zentrale $z$ mit Richtung $\overrightarrow{t}$."

"(i) beschreibt eine Zentrale $z$ mit Polrichtung ${\overrightarrow{s}}^T$."

"(i) beschreibt eine konjugierte Zentrale $z^{\prime }$ mit Punkten ${\overrightarrow{s}}^T$."

"(i) beschreibt eine konjugierte Zentrale $z^{\prime }$ mit Richtung ${\overrightarrow{s}}^T$."

"(i) beschreibt eine konjugierte Zentrale $z^{\prime }$ mit Polrichtung $\overrightarrow{t}$."

B. Keine Zentrale ist zu sich selbst konjugiert.

Ein Punkt $\overrightarrow{x}$ gehöre sowohl einer Zentrale $z$ als auch ihrer konjugierten $z^{\prime }$ an. Dann gilt für diesen:

${\overrightarrow{x}}^{T}M\overrightarrow{x}=0\iff \alpha x_i^2+\beta y_i^2=0$;

diese Gleichung hat wegen $\alpha ,\beta >0$ (im Reellen) nur die Lösung $x_i=y_i=0$. Also sind eine Zentrale und ihre konjugierte bis auf den Ursprung disjunkt.

C. Der Übergang zur konjugierten Zentrale ist eine Involution.

Wird in (i) ein beliebiger Punkt ${\overrightarrow{s}}^T\in z^{\prime }$ als Polrichtung aufgefasst, so beschreibt (i) definitionsgemäß die konjugierte Zentrale $z^{″}$ (zu $z^{\prime }$) mit Punkten $\overrightarrow{t}$.

Da ${\overrightarrow{s}}^T$ mit A. Polrichtung von $z$ und eine Zentrale durch ihre Polrichtung eindeutig beschrieben ist, ist $z^{″}$ = $z$.

Wenn zwei Zentralen durch dieselbe Gleichung des Typs (i) beschrieben werden, ist daher frei wählbar, welche derselben als die (zur anderen) konjugierte angesehen wird.

D. Eine Schar von Polaren $p_i$ sei parallel zur Zentrale $z:{\overrightarrow{s}}^{T}M\overrightarrow{t}=0$ mit Polrichtung ${\overrightarrow{s}}^T$. Dann ist der Pol ${\overrightarrow{s}}_i^T$ jeder Polare $p_i$ Punkt und Richtung der konjugierten Zentrale $z^{\prime }$.

Da die Polaren $p_i:{\overrightarrow{s}}_i^{T}M\overrightarrow{x}=1$ zu $z$ parallel sind, ist der Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_i^T={\overrightarrow{s}}_i^{T}M$ je einer Polare kollinear zu ${\overrightarrow{n}}^T=s^{T}M$.

Da die Abbildung ${\overrightarrow{s}}_i^T\to {\overrightarrow{s}}_i^{T}M={\overrightarrow{n}}_i^T$ regulär ist, sind auch die Pole ${\overrightarrow{s}}_i^T$ der $p_i$ (kollinear zur) Polrichtung ${\overrightarrow{s}}^T$ von $z$.

Mit der Äquivalenz in A. folgt die Behauptung.

E. Die Zentrale $z:{\overrightarrow{s}}^{T}M\overrightarrow{t}=0$ habe die Richtung ${\overrightarrow{s}}^T=(x,y)$. Dann hat die konjugierte Zentrale $z^{\prime }$ die Richtung $\overrightarrow{t}=\left(\begin{array}{c}-\beta y\\ \alpha x\end{array}\right)$.

$z^{\prime }$ hat die Polrichtung ${\overrightarrow{s}}^T$ und den Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}^T={\overrightarrow{s}}^{T}M=(\alpha x,\beta y)$.

Die Richtung von $z^{\prime }$ ist orthogonal zu ${\overrightarrow{n}}^T$; daraus folgt die Behauptung.

Beweis der Behauptungen

Idee zu (1): Jede betrachtete Sehne ist Teilmenge einer Polare $p_i$, die parallel zur Zentrale $(P{P}^{\prime })=z:{\overrightarrow{s}}^{T}M\overrightarrow{t}=0$ mit Polrichtung ${\overrightarrow{s}}^T$ ist. Mit D. ist der Pol ${\overrightarrow{s}}_i^T$ einer solchen Polare $p_i$ Punkt und Richtung der konjugierten Zentrale $z^{\prime }$. Da $z^{\prime }$ mit B. nicht parallel zu $z$ ist, ist $z^{\prime }$ auch nicht parallel zu den Polaren $p_i$, sondern schneidet je eine Polare in einem Stützvektor ${\mu }_i{\overrightarrow{s}}_i$ derselben. Nachrechnen lässt sich, dass ${\mu }_i{\overrightarrow{s}}_i\in z^{\prime }$ je eine betrachtete Sehnen halbiert, und $z^{\prime }$ daher den als konjugiert bezeichneten Durchmesser $\overline{Q{Q}^{\prime }}$ mit der behaupteten Eigenschaft enthält.

Mit ${\overrightarrow{s}}_i^T=(x_i,y_i)\in z^{\prime }$ haben $z$ und die zu ihr parallelen $p_i$ nach E. einen Richtungsvektor ${\overrightarrow{u}}_i=\left(\begin{array}{c}-\beta y_i\\ \alpha x_i\end{array}\right)$, und $p_i$ hat die Parameterform:

$\overrightarrow{x}={\mu }_i{\overrightarrow{s}}_i+\lambda {\overrightarrow{u}}_i=\left(\begin{array}{c}{\mu }_i{x}_i\\ {\mu }_i{y}_i\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{c}-\beta y_i\\ \alpha x_i\end{array}\right)$.

Die Parameter ${\lambda }_s$ der Endpunkte $x_{1,2}$ der in $p_i$ enthaltenen Sehne lassen sich bestimmen, indem die Parameterdarstellung von $p_i$ koordinatenweise in die Definitionsgleichung der Ellipse (s.o. A.) eingesetzt wird:

$\alpha ({\mu }_i{x}_i-{\lambda }_s\beta y_i{)}^2+\beta ({\mu }_i{y}_i+{\lambda }_s\alpha x_i{)}^2=1$;

die beiden gemischten Glieder $\mp 2\alpha \beta {\mu }_i{x}_i{y}_i{\lambda }_s$ heben sich gegenseitig auf, sodass sich die Lösungen ${\lambda }_{s1,2}$ dieser quadratischen Gleichung höchstens um ein Vorzeichen unterscheiden, und die Endpunkte haben die Form

${\overrightarrow{x}}_1={\mu }_i{\overrightarrow{s}}_i+{\lambda }_{s1}{\overrightarrow{u}}_i$ und ${\overrightarrow{x}}_2={\mu }_i{\overrightarrow{s}}_i-{\lambda }_{s1}{\overrightarrow{u}}_i$.

Also halbiert ${\mu }_i{\overrightarrow{s}}_i\in z^{\prime }$ je eine betrachtete Sehne, wie behauptet.

(2) folgt direkt aus C., da mit (1) jeder konjugierte Durchmesser in einer konjugierten Zentrale enthalten ist.

Idee zu (3): Die Tangente in $P$ oder $P^{\prime }$ ist eine Polare, deren Pol auf der Ellipse liegt, und die zur konjugierten Zentrale $(Q{Q}^{\prime })$ parallel ist.

Ein Durchmesser der Voraussetzung, etwa $\overline{P{P}^{\prime }}$, liegt in einer Zentrale $z:{\overrightarrow{s}}^{T}M\overrightarrow{t}=0$ mit Punkten ${\overrightarrow{s}}^T$.

Ein auch auf der Ellipse gelegener Punkt ${\overrightarrow{s}}^T={\overrightarrow{s}}_0^T\in z$ ist Endpunkt $P$ bzw. $P^{\prime }$ des Durchmessers.

Eine Schar von Polaren $p_i:{\overrightarrow{s}}_i^{T}M\overrightarrow{x}=1$ sei parallel zur konjugierten Zentrale $z^{\prime }=(Q{Q}^{\prime })$ mit Polrichtung ${\overrightarrow{s}}^T$.

Mit D. und C. ist der Pol ${\overrightarrow{s}}_i^T$ jeder Polare $p_i$ Punkt und Richtung der Zentrale $z^{″}=z$.

Die Polare $p_i$ mit ${\overrightarrow{s}}_i^T={\overrightarrow{s}}_0^T$ ist die Tangente durch $P$ bzw. $P^{\prime }$.

Erste Idee zu (4): Ist $\overrightarrow{t}$ die Richtung der Zentrale $z:{\overrightarrow{s}}^{T}M\overrightarrow{t}=0$, so ist ${\overrightarrow{s}}^T$ die Richtung der konjugierten Zentrale $z^{\prime }$. Genau dann, wenn ${\overrightarrow{s}}^T$ nicht nur zum Normalenvektor $M\overrightarrow{t}$ von $z^{\prime }$, sondern auch zu $\overrightarrow{t}$ orthogonal ist, sind $M\overrightarrow{t}$ und $\overrightarrow{t}$ kollinear, und $\overrightarrow{t}$ ist Eigenvektor von $M$.

Aus der Form von $M$ lassen sich die Eigenvektoren

${\overrightarrow{t}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ (zum Eigenwert $\alpha$) und ${\overrightarrow{t}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ (zum Eigenwert $\beta$)

ablesen. Mit Ergänzung um den jeweils orthogonalen Vektor ${\overrightarrow{s}}_{1,2}^T$ existieren genau folgende beiden Paare ${\overrightarrow{t}}_i,{\overrightarrow{s}}_i^T$ von Richtungen orthogonaler konjugierter Zentralen:

${\overrightarrow{t}}_1,{\overrightarrow{s}}_1^T={\overrightarrow{t}}_2^T$, d.h. $z$ ist die x-Achse, $z^{\prime }$ die y-Achse und

${\overrightarrow{t}}_2,{\overrightarrow{s}}_2^T={\overrightarrow{t}}_1^T$, d.h. $z$ ist die y-Achse, $z^{\prime }$ die x-Achse

Hieraus folgt (4.1).

Ist die Ellipse ein Kreis und $M$ wegen $\alpha =\beta$ ein Vielfaches der identischen Abbildung, so sind alle Vektoren $\overrightarrow{t}$ Eigenvektoren, und der Übergang von einer beliebigen Richtung ${\overrightarrow{t}}_i$ zur dazu othogonalen Richtung ${\overrightarrow{s}}_i^T$ bedeutet gleichzeitig den Übergang von der Richtung einer Zentrale zu derjenigen der zu ihr konjugierten. Hieraus folgt (4.2).

Zweite Idee zu (4): Mit Koordinatendarstellungen für die Richtung einer Zentrale $z$ und der zu ihr konjugierten $z^{\prime }$ lässt sich nachrechnen, in welchen Fällen das Sklararprodukt derselben verschwindet.

Mit E. sei ${\overrightarrow{s}}^T=(x,y)\in z$ sowie $\overrightarrow{t}=\left(\begin{array}{c}-\beta y\\ \alpha x\end{array}\right)\in z^{\prime }$.

Das Skalarprodukt ist

${\overrightarrow{s}}^T\overrightarrow{t}=xy(\alpha -\beta )$

und verschwindet in genau folgenden Fällen:

• $x=0$, d.h. $z$ ist die y-Achse, $z^{\prime }$ die x-Achse, oder
• $y=0$, d.h. $z$ ist die x-Achse, $z^{\prime }$ die y-Achse, hieraus folgt (4.1);
• $\alpha =\beta$, d.h. die Ellipse ist ein Kreis, und in diesem Fall gilt die Aussage für beliebige Richtungen der betrachteten (konjugierten) Zentralen;

für einen Kreis folgt aus der Koordinatendarstellung der Richtungsvektoren auch umgekehrt, dass beliebige zueinander orthogonale Richtungen ${\overrightarrow{s}}^T$ und $\overrightarrow{t}$ diejenigen einer Zentrale $z$ und ihrer konjugierten Zentrale $z^{\prime }$ sind. Hieraus folgt (4.2).

Idee zu (5): Mit Koordinatendarstellungen für die Richtung einer Zentrale $z$ und der zu ihr konjugierten $z^{\prime }$ lässt sich das Steigungsprodukt ausrechnen.

Mit E. sei ${\overrightarrow{s}}^T=(x,y)\in z$ sowie $\overrightarrow{t}=\left(\begin{array}{c}-\beta y\\ \alpha x\end{array}\right)\in z^{\prime }$.

Da die zu betrachtenden Zentralen nicht orthogonal sind, ist mit (4.1) keine derselben eine Koordinatenachse, somit $x,y\ne 0$.

Die Steigungen sind

$\frac{y}{x}$ für ${\overrightarrow{s}}^T$ sowie $\frac{\alpha x}{-\beta y}$ für $\overrightarrow{t}$.

Das Produkt der Steigungen ist daher nach Kürzen

$\frac{\alpha }{-\beta }=\frac{-b^2}{a^2}$, wie behauptet.

Idee zu (6.1): Mit Koordinatendarstellungen für die Richtung einer Zentrale $z$ und der zu ihr konjugierten $z^{\prime }$ lassen sich Ortsvektoren für einen Ellipsenpunkt auf je einer der beiden modellieren. Mit diesen Ortsvektoren lässt sich die angegebene Beziehung nachrechnen.

Mit E. sei ${\overrightarrow{s}}^T=(x,y)\in z$ sowie $\overrightarrow{t}=\left(\begin{array}{c}-\beta y\\ \alpha x\end{array}\right)\in z^{\prime }$.

$\frac{{\overrightarrow{d}}_1^T}{2}={\overrightarrow{s}}^T\in z$ sei Ortsvektor eines Ellipsenpunktes, also

$\alpha x^2+\beta y^2=1.$ (ii)

$\frac{{\overrightarrow{d}}_2}{2}=\nu \overrightarrow{t}\in z^{\prime }$ ($\nu$ Skalar) sei ebenfalls Ortsvektor eines Ellipsenpunktes, also

$\alpha (\nu (-\beta )y{)}^2+\beta (\nu \alpha x{)}^2=1;$

${\nu }^2\alpha \beta (\beta y^2+\alpha x^2)=1;$

mit (ii):

${\nu }^2\alpha \beta =1.$ (iii)

Dann ist:

$\frac{{\overrightarrow{d}}_1^T}{2}\frac{{\overrightarrow{d}}_1}{2}+\frac{{\overrightarrow{d}}_2^T}{2}\frac{{\overrightarrow{d}}_2}{2}=$

${\overrightarrow{s}}^T\overrightarrow{s}+{\nu }^2{\overrightarrow{t}}^T\overrightarrow{t}=$

$x^2+y^2+{\nu }^2({\beta }^2{y}^2+{\alpha }^2{x}^2)=$

auf einen Nenner, mit $\alpha \beta$ erweitern:

$\frac{\alpha \beta (x^2+y^2)+{\nu }^2\alpha \beta ({\beta }^2{y}^2+{\alpha }^2{x}^2)}{\alpha \beta }=$

mit (iii):

$\frac{\alpha \beta x^2+\alpha \beta y^2+{\beta }^2{y}^2+{\alpha }^2{x}^2}{\alpha \beta }=$

linke Seite der Ellipsengleichung ausklammern:

$\frac{(\alpha +\beta )(\alpha x^2+\beta y^2)}{\alpha \beta }=$

mit (ii):

$\frac{\beta +\alpha }{\alpha \beta }=$$\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }=$$a^2+b^2$, wie behauptet.

Idee zu (6.2): Ebenso lässt sich unter Berücksichtigung der Gleichungen (ii) und (iii) der Flächeninhalt des von $\frac{{\overrightarrow{d}}_1^T}{2}={\overrightarrow{s}}^T\in z,\frac{{\overrightarrow{d}}_2}{2}=\nu \overrightarrow{t}\in z^{\prime }$ aufgespannten Parallelogramms über die Determinante berechnen; die Dreiecksfläche $F_{\mathrm{\Delta }}$ der Behauptung ist die Hälfte derselben.

Die Determinante hat mit den Spaltenvektoren $\frac{{\overrightarrow{d}}_1}{2},\frac{{\overrightarrow{d}}_2}{2}$ hat die Form

$\left|\begin{array}{cc}x& -\nu \beta y\\ y& \nu \alpha x\end{array}\right|$ =

$\nu (\alpha x^2+\beta y^2)$ =

mit (ii) und (iii):

$\sqrt{\frac{1}{\alpha \beta }}=\sqrt{a^2{b}^2}=a\cdot b$.