Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie: einfache Hilfssätze

Hilfssatz: Parallelität ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis: Per Definition ist jede Gerade zu sich selbst parallel. Außerdem ist Parallelität trivialerweise symmetrisch. Ist $g_1\Vert g_2$ und $g_2\Vert g_3$ und nimmt man an, dass $g_1\nparallel g_3$, so schneiden sich $g_1$ und $g_3$ in einem Punkt $p$. Dann ist jedoch sowohl $g_1$ als auch $g_3$ die eindeutig bestimmte Parallele zu $g_2$ durch $p$. Folglich ist Parallelität auch transitiv.

Hilfssatz: Es gibt mindestens vier Punkte.

Beweis: Seien $a,b,c$ drei nicht kollineare Punkte. Die Punkte sind insbesondere verschieden, so dass wir die Geraden $ab$ und $ac$ haben. Diese Geraden sind verschieden, da die drei Punkte sonst kollinear wären. Da außerdem beide durch $a$ gehen, sind sie nicht parallel. Dann sind auch die Geraden $g=\mathrm{par}(ab,c)$ und $h=\mathrm{par}(ac,b)$ nicht parallel. Sei $d$ ihr Schnittpunkt. Wäre $d=a$, so folgte $g=ab$ wegen $g\Vert ab$ und $a\epsilon g$. Da dann $a,b,c$ kollinear wären, ergibt sich ein Widerspruch. Ähnlich schließt man $d\ne b$ und $d\ne c$.

Hilfssatz: Jeder Punkt liegt auf mindestens drei Geraden.

Beweis: Sei $p$ ein beliebiger Punkt und seien $a,b,c$ drei nicht kollineare Punkte. Dann sind die Geraden $ab,ac,bc$ paarweise nicht parallel. Folglich sind die Parallelen hierzu durch $p$ verschieden.

Hilfssatz: Jede Gerade geht durch mindestens zwei Punkte.

Beweis: Sei $g$ eine beliebige Gerade und seien $a,b,c$ drei nicht kollineare Punkte. Höchstens eine der drei paarweise sich schneidenden Geraden $ab$, $ac$, $bc$ ist parallel zu $g$. Sei also oBdA. $ab\nparallel g$. Es folgt auch $\mathrm{par}(ab,c)\nparallel g$. Somit geht $g$ durch die beiden Punkte $g\wedge ab$ und $g\wedge \mathrm{par}(ab,c)$. Diese beiden Punkte sind verschieden, da sonst $c\epsilon ab$ folgen würde.

Hilfssatz: Ist $\varphi$ ein Endomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $\varphi$ ist die Identität.
2. ${\varphi }_P$ ist die Identität.
3. ${\varphi }_G$ ist die Identität.

Beweis: $1\Rightarrow 2$, $1\Rightarrow 3$ und $(2\wedge 3)\Rightarrow 1$ sind klar.

Weiter gilt $2\Rightarrow 3$: Ist nämlich $g\in G$ beliebig, so gibt es zwei verschiedene Punkte $a,b\in P$ mit $a\epsilon g$ und $b\epsilon g$. Mit 2 folgt auch $a\epsilon {\varphi }_G(g)$ und $b\epsilon {\varphi }_G(g)$, so dass sich $\varphi (g)=g$ ergibt.

Schließlich gilt auch $3\Rightarrow 2$: Ist $p\in P$ beliebig, so gibt es zwei verschiedene Geraden $g,h\in G$ mit $p=g\wedge h$. Es folgt wegen 3 dann aber auch ${\varphi }_P(p)\epsilon g$ und ${\varphi }_P(p)\epsilon h$, d.h. ${\varphi }_P(p)=p$.

Hilfssatz: Ist $\varphi$ ein Automorphismus, so folgt aus $g\Vert h$ stets auch ${\varphi }_G(g)\Vert {\varphi }_G(h)$.

Beweis: Es ist klar, dass sich schneidende Geraden auf sich schneidende Geraden abgebildet werden. Da dies auch für den inversen Automorphismus gilt, folgt die Behauptung.