Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie: Homothetien und Translationen

Beweisarchiv: Geometrie: TOPNAV Innerhalb der Gruppe $\mathrm{Aut}(P,G;\epsilon )$ sei $𝒢$ die Untergruppe derjenigen Automorphismen $\varphi$ mit ${\varphi }_G(g)\Vert g$ für alle Geraden $g\in G$.

Hilfssatz: $𝒢$ ist Normalteiler von $\mathrm{Aut}(P,G;\epsilon )$. Ist $g\in G$ eine Gerade, so operiert $𝒢$ auf kanonische Weise auf dem Parallelenbündel $\{h\in G\mid h\Vert g\}$.

Beweis: Die kanonische Operation von $\mathrm{Aut}(P,G;\epsilon )$ auf $G$ induziert eine Operation auf der Menge $G/\Vert$ der Parallelenbündel, da jeder Automorphismus parallele Geraden in parallele Geraden abbildet. $𝒢$ ist gerade der Kern des zugehörigen Homomorphismus $\mathrm{Aut}(P,G;\epsilon )\to \mathrm{Sym}(G/\Vert )$ und somit Normalteiler. Hieraus folgt auch sofort, dass $𝒢$ auf jedem Element von $G/\Vert$, d.h. auf jedem Parallelenbündel operiert. $◻$

Hilfssatz: Ist $\varphi \in 𝒢$ nicht die Identität, so hat ${\varphi }_P$ höchstens einen Fixpunkt.

Beweis: Sei $\varphi \in 𝒢$. Ist $p$ ein Fixpunkt, so ist jede Gerade $g$ durch $p$ Fixgerade: Aus ${\varphi }_G(g)\Vert g$ und $p={\varphi }_P(p)\epsilon {\varphi }_G(g)$ folgt ${\varphi }_G(g)=g$.

Seien $a,b\in P$ zwei verschiedene Fixpunkte. Sei $g\in G$ beliebig. Gilt $a\epsilon g$, so ist $g$ nach der gerade gezeigten Aussage eine Fixgerade. Gilt dagegen $a\epsilon g$, so gibt es ein $p\epsilon g$ mit $p\epsilon ab$. Als Schnittpunkt der Fixgeraden $ap$ und $bp$ ist $p$ Fixpunkt. Damit ist auch $g$ Fixgerade. Folglich ist ${\varphi }_G$ die identische Abbildung und somit $\varphi$ die Identität. $◻$

Ist $p\in P$, so heißt ${\mathscr{H}}_p=\{\varphi \in G\mid {\varphi }_P(p)=p\}$ die Gruppe der Homothetien mit Zentrum $p$. Es ist klar, dass es sich um eine Gruppe handelt, nämlich den Stabilisator von $p$ unter der kanonischen Operation von $𝒢$ auf $P$.

Hilfssatz: Fixgeraden einer nichttrivialen Homothetie sind genau die durch das Zentrum verlaufenden Geraden.

Beweis: Sei $\varphi \in {\mathscr{H}}_p$. Ist $g$ eine nicht durch $p$ verlaufende Fixgerade und $q\epsilon g$, so ist $q$ als Schnittpunkt der Fixgeraden $g$ und $pq$ ein Fixpunkt. Es folgt, dass $\varphi$ die Identität ist. $◻$

Hilfssatz: Gilt $p\epsilon g$, so operiert ${\mathscr{H}}_p$ treu auf $P(g)\setminus \{p\}$.

Beweis: Zunächst operiert ${\mathscr{H}}_p$ auf $P(g)$, da $g$ Fixgerade ist. Da die Bahn von $p$ nur aus $p$ selbst besteht, operiert ${\mathscr{H}}_p$ auch auf $P(g)\setminus \{p\}$, hier sogar treu, da nur die Identität weitere Fixpunkte hat. $◻$

Sei $𝒯$ die Menge der fixpunktfreien Elemente von $𝒢$ zusammen mit der Identität. $𝒯$ heißt die Gruppe der Translationen.

Hilfssatz: Ist $\varphi \in 𝒢$ fixpunktfrei, so gilt für $a,b\in P$ stets $a{\varphi }_P(a)\Vert b{\varphi }_P(b)$. Genau die Parallelen zu $a{\varphi }_P(a)$ sind Fixgeraden.

Beweis: Die Gerade $g=a{\varphi }_P(a)$ ist wegen ${\varphi }_P(a)\epsilon {\varphi }_G(g)$ und ${\varphi }_G(g)\Vert g$ Fixgerade. Würde eine weitere Fixgerade $g$ schneiden, so wäre der Schnittpunkt Fixpunkt, also sind alle Fixgeraden zu $g$ parallel. Da für $b\in P$ auch $b{\varphi }_P(b)$ Fixgerade ist, folgt insbesondere $a{\varphi }_P(a)\Vert b{\varphi }_P(b)$. Ist $h\Vert g$, so wählen wir einen Punkt $p\epsilon h$. Dann fällt $h$ mit der Fixgeraden $p{\varphi }_P(p)$ zusammen. $◻$

Hilfssatz: $𝒯$ ist eine Gruppe.

Beweis: Zunächst enthält $𝒯$ die Identität und ist somit nicht leer.

Ist $\varphi \in 𝒢$ fixpunktfrei, so gilt dies auch für ${\varphi }^{-1}\in 𝒢$, so dass $𝒯$ gegen Inversenbildung abgeschlossen ist.

Um zu zeigen, dass $𝒯$ eine Untergruppe von $𝒢$ ist, bleibt die Abgeschlossenheit zu zeigen. Sei also $\varphi ,\psi \in 𝒯$. Ist $\varphi$ oder $\psi$ die Identität, so folgt sofort $\varphi \circ \psi \in 𝒯$. Wir nehmen daher an, dass $\varphi$ und $\psi$ fixpunktfrei sind und $\varphi \circ \psi$ mindestens einen Fixpunkt $o$ hat.

Sei $a\in P$ beliebig, $b={\psi }_P(a)$, $c={\varphi }_P(b)$. Dann gilt $a\ne b\ne c$ (aber möglicherweise $a=c$). Es folgt $ab=a{\psi }_P(a)\Vert o{\psi }_P(o)={\psi }_P(o){\varphi }_P({\psi }_P(o))\Vert b{\varphi }_P(b)=bc$, also $ab=bc$. Alle Parallelen zu $ab$ sind also fix sowohl unter $\psi$ als auch $\varphi$, somit auch unter $\varphi \circ \psi$. Mindestes eine hiervon, etwa $h$, verläuft nicht durch $o$. Ist $p$ ein auf $h$ liegender Punkt, so ist dieser als Schnittpunkt der beiden Fixgeraden $h$ und $op$ ein zweiter Fixpunkt. Somit ist $\varphi \circ \psi$ die Identität und in der Tat $\varphi \circ \psi \in 𝒯$. $◻$

Hilfssatz: $𝒯$ operiert treu auf $P$. Ist $g\in G$ eine Gerade, so operiert deren Stabilisator ${𝒯}_g$ treu auf $P(g)$.

Beweis: Klar, da nur die Identität Fixpunkte hat. $◻$

Hilfssatz: $𝒯$ ist ein Normalteiler von $𝒢$. Ist $g\in G$ eine Gerade, so ist ${𝒯}_g$ ebenfalls Normalteiler von $𝒢$

Beweis: ${𝒯}_g$ besteht genau aus denjenigen Elementen von $𝒢$, die auf dem Parallelenbündel zu $g$ trivial operieren, folglich ${𝒯}_g⊲𝒢$. Da jedes Element von $𝒯$ für geeignetes $g\in G$ in einem ${𝒯}_g$ liegt, folgt auch $𝒯⊲𝒢$. $◻$

Desarguessche Ebenen

Im Folgenden sei angenommen, dass der Satz von Desargues in der folgenden Form gilt:

Satz von Desargues: Seien $a,b,c,a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ sechs verschiedene Punkte. Die Geraden $a{a}^{\prime },b{b}^{\prime },c{c}^{\prime }$ seien alle parallel ("uneigentlich zentralperspektiv") oder gehen alle durch einen gemeinsamen Punkt $p$ ("zentralperspektiv mit Zentrum $p$"). Dann folgt aus $ab\Vert a^{\prime }{b}^{\prime }$ und $ac\Vert a^{\prime }{c}^{\prime }$ auch $bc\Vert b^{\prime }{c}^{\prime }$.

Dann ergeben sich weitere Schlussfolgerungen:

Hilfssatz: $𝒯$ operiert transitiv auf $P$. Für $g\in G$ operiert ${𝒯}_g$ transitiv auf $P(g)$.

Beweis: Seien $a,b\in P$ zwei Punkte, $a\ne b$. Wir suchen ein $\varphi \in 𝒯$ mit ${\varphi }_P(a)=b$.

Definiere $\varphi$ wie folgt:

1. Für $g\in G$ mit $a\epsilon g$ setze ${\varphi }_G(g)=\mathrm{par}(g,b)$.
2. Für $g\in G$ mit $g\Vert ab$ setze ${\varphi }_G(g)=g$.
3. Für $p\in P$ mit $p\epsilon ab$ setze ${\varphi }_P(p)={\varphi }_G(pa)\wedge \mathrm{par}(ab,p)$
4. Für sonstige $g\in G$ (also solche Geraden mit $a\epsilon g$ und $g\nparallel ab$) wähle ein $p\epsilon g$ mit $p\epsilon ab$ und setze ${\varphi }_G(g)=\mathrm{par}(g,{\varphi }_P(p))$.
5. Für sonstige $p\in P$ (also solche mit $p\epsilon ab$) wähle eine von $ab$ verschiedene Gerade $g$ mit $p\epsilon g$ und setze ${\varphi }_P(p)=ab\wedge {\varphi }_G(g)$.

Zu zeigen ist als erstes, dass dies wohldefiniert ist. Zunächst besteht kein Konflikt zwischen 1 und 2, da beide ${\varphi }_G(ab)=ab$ definieren.

Die Definition unter 4 hängt nicht von der Wahl des Punktes $p$ ab: Sei $p^{\prime }$ ein weiterer Punkt mit $p^{\prime }\epsilon g$ und $p^{\prime }\epsilon ab$. Wegen 3 gilt $p{\varphi }_P(p)\Vert ab\Vert p^{\prime }{\varphi }_P(p^{\prime })$, also sind die Dreiecke $ap{p}^{\prime }$ und $b{\varphi }_P(p){\varphi }_P(p^{\prime })$ uneigentlich zentralperspektiv. Aus $b{\varphi }_P(p)\Vert ap$ und $b{\varphi }_P(p^{\prime })\Vert a{p}^{\prime }$ (beides wegen 1) folgt daher auch ${\varphi }_P(p){\varphi }_P(p^{\prime })\Vert p{p}^{\prime }$, also $\mathrm{par}(g,{\varphi }_P(p))=\mathrm{par}(g,{\varphi }_P(p^{\prime }))$.

Die Definition unter 5 hängt nicht von der Wahl der Geraden $g$ ab: Sei $g^{\prime }$ eine weitere Gerade, die $ab$ in $p$ schneidet. Sei $q\epsilon g$ mit $q\epsilon ab$ und $q^{\prime }\epsilon g^{\prime }$ mit $q^{\prime }\epsilon ab$. Mit $p^{\prime }=ab\wedge {\varphi }_G(g)$ sind dann die Dreiecke $pq{q}^{\prime }$ und $p^{\prime }{\varphi }_P(q){\varphi }_P(q^{\prime })$ uneigentlich zentralpersektiv. Aus $pq\Vert p^{\prime }{\varphi }_P(q)$ und $q{q}^{\prime }\Vert {\varphi }_P(q){\varphi }_P(q^{\prime })$ folgt dann auch $p{q}^{\prime }\Vert p^{\prime }{\varphi }_P(q^{\prime })$, d.h. $p^{\prime }{\varphi }_P(q^{\prime })=\mathrm{par}(g^{\prime },{\varphi }_P(q^{\prime }))={\varphi }_G(g^{\prime })$ und schließlich $p^{\prime }=ab\wedge {\varphi }_G(g^{\prime })$.

Man beachte noch, dass aus 5 nach Wahl einer von $ab$ verschiedenen Geraden $g$ durch $a$ sofort wie beabsichtigt ${\varphi }_P(a)=ab\wedge {\varphi }_G(g)=ab\wedge \mathrm{par}(g,b)=b$ folgt.

Als nächstes sei $p\in P$ und $g\in G$ mit $p\epsilon g$. Zu zeigen ist, dass dann auch ${\varphi }_P(p)\epsilon {\varphi }_G(g)$ gilt. Im Fall $p=a$ ist dies aus 1 klar. Im Fall $g\Vert ab$ ergibt sich aus 2 ${\varphi }_G(g)=g$, so dass die Behauptung aus 3 ($g\ne ab$) bzw. 5 ($g=ab$) folgt. Im Fall $a\epsilon g,g\nparallel ab,p\epsilon ab$ folgt die Aussage aus 3. Falls $a\epsilon g,g\nparallel ab,p\epsilon ab$ folgt die Behauptung aus 4. Falls schließlich $g\nparallel ab,p\epsilon ab$ folgt die Behauptung aus 5. Hiermit ist die Fallunterscheidung vollständig, d.h. $\varphi$ ist zumindest ein Endomorphismus.

Wir erhalten einen weiteren Endomorphismus $\psi$, wenn wir die Rollen von $a$ und $b$ vertauschen. Man überprüft wiederum fallweise unmittelbar, dass $\psi \circ \varphi$ und ebenso $\varphi \circ \psi$ die Identität ist. Folglich ist $\varphi \in \mathrm{Aut}(P,G;\epsilon )$.

Wegen 1, 2, 4 gilt stets ${\varphi }_G(g)\Vert g$, so dass sogar $\varphi \in 𝒢$ gilt.

Da alle Parallelen zu $ab$ Fixgeraden sind, kann $\varphi$ keine nichttriviale Homothetie sein, ist also eine Translation, $\varphi \in 𝒯$. Da $ab$ Fixgerade ist, gilt sogar $\varphi \in {𝒯}_{ab}$. Folglich operiert $𝒯$ in der Tat transitiv auf $P$ und für jede Gerade $g\in G$ auch ${𝒯}_g$ transitiv auf $P(g)$. $◻$

Sind $a,b\in P$ zwei Punkte, so bezeichnen die eindeutig bestimmte Translation, die $a$ auf $b$ abbildet, im Folgenden als ${\lambda }_{a,b}$.

Hilfssatz: $𝒯$ ist abelsch.

Beweis: Seien $\varphi ,\psi \in 𝒯$ zwei Translationen, sei $a\in P$ beliebig, $b={\varphi }_P(a)$, $c={\psi }_P(a)$.

Falls $a,b,c$ nicht kollinear sind, folgt ${\varphi }_G({\psi }_G(ab))=\mathrm{par}(ab,c)={\psi }_G({\varphi }_G(ab))$ und ebenso ${\varphi }_G({\psi }_G(ac))=\mathrm{par}(ac,b)={\psi }_G({\varphi }_G(ac))$. Somit folgt ${\varphi }_P({\psi }_P(a))=\mathrm{par}(ab,c)\wedge \mathrm{par}(ac,b)={\psi }_P({\varphi }_P(a))$. Hieraus ergibt sich bereits $\varphi \circ \psi =\psi \circ \varphi$.

Es bleibt der Fall zu betrachten, dass $a,b,c$ alle auf einer Geraden $g$ liegen. Falls zwei dieser Punkte zusammenfallen, ist eine der Abbildungen $\varphi ,\psi ,\psi \circ \varphi$ die Identität und die Vertauschbarkeit trivialerweise erfüllt. Wir können die drei Punkte $a,b,c$ also als verschieden voraussetzen. Wähle $p\in P$ mit $p\epsilon g$. Es folgt, dass $\varphi ={\lambda }_{p,b}\circ {\lambda }_{a,p}$ gilt. Dann sind $a,p,c$ nicht kollinear, so dass ${\lambda }_{a,p}$ mit $\psi$ vertauscht. Ferner sind $p,b,{\psi }_P(p)$ wegen $p{\psi }_P(p)\Vert g$ nicht kollinear, so dass auch ${\lambda }_{p,b}$ mit $\psi$ vertauscht. Folglich ist $\varphi \circ \psi ={\lambda }_{p,b}\circ {\lambda }_{a,p}\circ \psi =\psi \circ {\lambda }_{p,b}\circ {\lambda }_{a,p}=\psi \circ \varphi$. $◻$

Hilfssatz: Ist $p\epsilon g$, so operiert ${\mathscr{H}}_p$ transitiv auf $P(g)\setminus \{p\}$.

Beweis: Seien $a,b\in P(g)\setminus \{p\}$ zwei Punkte, $a\ne b$. Wir suchen ein $\varphi \in {\mathscr{H}}_p$ mit ${\varphi }_P(a)=b$.

Definiere $\varphi$ wie folgt:

1. Setze ${\varphi }_P(p)=p$.
2. Für $h\in G$ mit $p\epsilon h$ setze ${\varphi }_G(h)=h$.
3. Für $h\in G$ mit $a\epsilon h$ setze ${\varphi }_G(h)=\mathrm{par}(h,b)$.
4. Für $q\in P$ mit $q\epsilon g$ setze ${\varphi }_P(q)=pq\wedge {\varphi }_G(pa)$.
5. Für $h\in G$ mit $h\ne g$ wähle $q\epsilon h$ mit $q\epsilon g$ und setze ${\varphi }_G(h)=\mathrm{par}(h,{\varphi }_P(q))$.
6. Für $q\in P$ mit $q\ne p$ wähle $h\in G$ mit $q\epsilon h$ und $p\epsilon h$ und setze ${\varphi }_P(q)=pq\wedge {\varphi }_G(h)$.

Zunächst ist zu zeigen, dass dies wohldefiniert ist. Zwischen 2 und 3 besteht kein Konflikt, da im Fall $h=pa=g$ beide Varianten ${\varphi }_G(g)=g$ ergeben. Zwischen 2 und 5 besteht kein Konflikt, denn wegen 4 liegt für jedes gewählte $q$ auf jeden Fall auch ${\varphi }_P(q)$ auf $pq=h$, so dass sich wie bei 2 ebenfalls ${\varphi }_G(h)=h$ ergibt. Die Definition unter 5 hängt nicht von der Wahl von $q$ ab: Ist auch $q^{\prime }\epsilon h$ und $q^{\prime }\epsilon g$, so sind die Dreiecke $aq{q}^{\prime }$ und $b{\varphi }_P(q){\varphi }_P(q^{\prime })$ zentralperspektiv mit Zentrum $p$. Wegen 3 und 4 ist $aq\Vert b{\varphi }_P(q)$ und $a{q}^{\prime }\Vert b{\varphi }_P(q^{\prime })$, nach dem Satz von Desargues also auch $h=q{q}^{\prime }\Vert {\varphi }_P(q){\varphi }_P(q^{\prime })$. Es folgt $\mathrm{par}(h,{\varphi }_P(q))=\mathrm{par}(h,{\varphi }_P(q^{\prime }))$.

Die Definition unter 6 hängt nicht von der Wahl der Geraden $h$ ab: Ist $h^{\prime }$ eine weitere Gerade mit $q\epsilon h^{\prime }$ und $p\epsilon h^{\prime }$, so

Dann besteht aber auch kein Konflikt zwischen 4 und 6, da wir im Falle $q\epsilon g$ ja $h=pa$ wählen können.

Folglich ist $\varphi$ wohldefiniert.

Insbesondere ergibt sich aus 3 und 6 wie gewünscht ${\varphi }_P(a)=b$.

Analog zum entsprechenden Beweis für Translationen weist man nach, dass $\varphi$ ein Endomorphismus ist und dass durch Vertauschen von $a$ und $b$ sich ein inverser Endomorphismus ergibt, d.h. es gilt $\varphi \in \mathrm{Aut}(P,G;\epsilon )$.

Aus 2, 3, 5 ergibt sich jeweils ${\varphi }_G(h)\Vert h$, so dass $\varphi \in 𝒢$ folgt. Wegen ${\varphi }_P(p)=p$ folgt sogar $\varphi \in {\mathscr{H}}_p$. $◻$

Sind $p,a,b$ kollinear und $a\ne p\ne b$, so wird die eindeutig bestimmte Homothetie mit Zentrum $p$, die $a$ auf $b$ abbildet, im Folgenden mit ${\mu }_{p,a,b}$ bezeichnet.

Hilfssatz: Ist $g\in G,0\epsilon g$ so ist $(P(g),+,0)$ eine abelschen Gruppe, wenn man $a+b:={\lambda }_{0,a}(b)$ für $a,b\in P(g)$ definiert. ${\mathscr{H}}_0$ operiert auf $(P(g),+,0)$.

Beweis: Die Abbildung ${𝒯}_g\to P(g),\varphi \mapsto {\varphi }_P(0)$ ist eine Bijektion mit Umkehrabbildung $p\mapsto {\lambda }_{0,p}$. Wegen ${\lambda }_{0,a}\circ {\lambda }_{0,b}\mapsto {\lambda }_{0,a}({\lambda }_{0,b}(0))={\lambda }_{0,a}(b)=a+b$ ist dies auch ein Gruppoid-Homomorphimus.

Dass ${\mathscr{H}}_0$ auf dieser Gruppe operiert, folgt unmittelbar aus ${𝒯}_g⊲𝒢$ . $◻$

Hilfssatz: Schneiden sich die Geraden $g$ und $g^{\prime }$ in 0 und ist $h\nparallel g^{\prime }$, so ist die Abbildung $f:P(g)\to P(g^{\prime }),p\mapsto \mathrm{par}(h,p)\wedge g^{\prime }$ ein Homomorphismus von abelschen Gruppen und mit der Operation von ${\mathscr{H}}_0$ verträglich.

Beweis: Ist $a,b\in P(g)$ und sind $h_0,h_a,h_b,h_{a+b}$ die Parallelen zu $h$ durch $0,a,b,a+b$, so folgt $h_{a+b}={\lambda }_{0,a+b}(h_0)={\lambda }_{0,b}({\lambda }_{0,a}(h_0))$. Wegen $af(a)\Vert h$ ist ${\lambda }_{a,f(a)}(h_a)=h_a$, also $h_a={\lambda }_{0,a}(h_0)={\lambda }_{0,f(a)}(h_0)$ und ebenso $h_{a+b}={\lambda }_{0,b}(h_a)={\lambda }_{0,f(b)}(h_a)$, folglich $h_{a+b}={\lambda }_{0,f(b)}({\lambda }_{0,f(a)}(h_0))={\lambda }_{0,f(a)+f(b)}(h_0).Esfolgt,dass<math>f(a)+f(b)$ der Schnittpunkt von $h_{a+b}$ mit $g^{\prime }$ ist, also $f(a)+f(b)=f(a+b)$. $◻$

Satz: Ist $g\in G$ und sind $0\epsilon g$, $1\epsilon g$, $0\ne 1$, zwei auf ihr liegende Punkte, so wird $P(g)$ zu einem Schiefkörper, wenn man für $a,b\in P(g)$ definiert

• $a+b:={\lambda }_{0,a}(b)$,
• $a\cdot b:={\mu }_{0,1,a}(b)$, sofern $a\ne 0$,
• $0\cdot b:=0$.

Bis auf Isomorphie ist der Schiefkörper nicht von der Wahl von $g$, 0 und 1 abhängig.

Beweis: Dass $(P(g),+)$ eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 ist, wurde oben gezeigt. Auf dieselbe Art sehen wir aus der Bijektion ${\mathscr{H}}_0\to P(g)\setminus \{0\},\varphi \mapsto \varphi (1)$, dass $(P(g)\setminus \{0\},\cdot )$ eine Gruppe mit neutralem Element 1 ist.

Sei $c\in P(g),c\ne 0$. Da ${\mathscr{H}}_0$ auf $(P(g),+)$ operiert, gilt für $a,b\in P(g)$ stets $c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b$, d.h. die Multiplikation ist von links distributiv über die Addition (im Fall $c=0$ trivialerweise).

Sei wieder $c\in P(g),c\ne 0$, $g^{\prime }$ eine weitere Gerade durch 0 und $1^{\prime }\epsilon g^{\prime }$, $1^{\prime }\ne 0$. Die Parallelen zu $11^{\prime }$ induzieren einen Isomorphismus $f_1:P(g)\to P(g^{\prime })$, die Parallelen zu $1^{\prime }c$ einen Isomorphismus $f_2:P(g^{\prime })\to P(g)$. Insgesamt ergibt sich ein Automorphismus $\varphi =f_2\circ f_1$ von $P(g)$, der $1\mapsto c$ abbildet. Ist $a\epsilon g$ mit $a\ne 0$, so ergibt sich $\varphi (a)=a\cdot c$ (das Dreieck $11^{\prime }c$ wird homothetisch auf $a{f}_1(a){\varphi }_P(a)$ abgebildet) sowie trivialerweise $\varphi (0)=0\cdot c$, d.h. $\varphi$ ist die Rechtsmultiplikation mit $c$. Es folgt, dass die Multiplikation auch von rechts distributiv ist.

Somit ist $(P(g),+,\cdot ,0,1)$ ein Ring und, da alle $c\ne 0$ invertierbar sind, sogar ein Schiefkörper.

Die Unabhängigkeit von der Wahl von $g$, 0, 1 ist nur eine Folge folgender Tatsachen:

• Für $a,b\in P$ gilt ${\mathscr{H}}_a\approx {\mathscr{H}}_b$, weil $𝒯$ transitiv auf $P$ operiert.
• Für sich schneidende Geraden $g,h$ gilt nach dem vorhergehenden Hilfssatz ${𝒯}_g\approx {𝒯}_h$ und für parallele wieder wegen der Transitivität von $𝒯$.

$◻$