Beweisarchiv: Funktionentheorie: Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra

Satz von Gauß

Jedes nichtkonstante Polynom besitzt eine Nullstelle in $ℂ$.

Beweis

Angenommen, es gäbe ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom $p:ℂ\to ℂ$. Dann ist $\frac{1}{p}$ holomorph auf $ℂ$. Wegen $\underset{|z|\to \mathrm{\infty }}{lim}|p(z)|=\mathrm{\infty }$ ist $\frac{1}{p}$ beschränkt. Also ist $\frac{1}{p}$ konstant nach dem Satz von Liouville im Widerspruch zur Voraussetzung.

$◻$

Anmerkung: Oft wird auch der Satz von Gauß schon "Fundamentalsatz der Algebra" genannt.

Alternativ: Beweis direkt aus dem Cauchy'schen Integralsatz, ohne Satz von Liouville

Angenommen, es gäbe ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom $p:ℂ\to ℂ$.

Betrachte dann das folgende Integral:

$\underset{{\gamma }_R}{\int }\frac{1}{z\cdot p(z)}\mathrm{d}z$,

wobei ${\gamma }_R$ ein Kreis mit Radius $R$ um den Ursprung ist. Mit dem Cauchy'schen Integralsatz folgt, dass der Wert dieses Integrals unabhängig von $R$ sein muss.

Einerseits kann man das Integral nun im Limes $R\to 0$ auswerten (oder direkt den Residuensatz benutzen):

$\underset{{\gamma }_R}{\int }\frac{1}{z\cdot p(z)}\mathrm{d}z=\frac{2\pi i}{p(0)}\ne 0.$

Andererseits kann man den Betrag des Integrals abschätzen:

$\left|\underset{{\gamma }_R}{\int }\frac{1}{z\cdot p(z)}\mathrm{d}z\right|\le 2\pi R\underset{|z|=R}{max}\frac{1}{|z\cdot p(z)|}=2\pi \underset{|z|=R}{max}\frac{1}{|p(z)|}\to 0$ für $R\to \mathrm{\infty }$.

Damit hat man einen Widerspruch zum Ergebnis für $R\to 0$.

Folgerung: Fundamentalsatz der Algebra

Sei $p(z)=\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k$ ein (komplexes) Polynom vom Grad $n$. Dann gibt es $z_1,\dots ,z_n\in ℂ$, nicht notwendigerweise verschieden, mit

$p(z)=a_n\prod _{k=1}^n(z-z_k).$

Beweis

Die Aussage wird mittels vollständiger Induktion bewiesen. Für $n_0=1$ ist die Aussage trivial.

Falls die Aussage für ein $n_0\in \mathbb{N}$ wahr ist und $p(z)=\sum _{k=0}^{n_0+1}{a}_k{z}^k$ ein Polynom vom Grad $n_0+1$, so ist $a_{n_0+1}\ne 0$, und es gibt nach dem Satz von Gauß ein $z_{n_0+1}\in ℂ$ mit $p(z_{n_0+1})=0$. Also ist

$p(z)=p(z)-p(z_{n_0+1})=a_{n_0+1}\cdot (\sum _{k=1}^{n_0+1}\frac{a_k}{a_{n_0+1}}(z^k-z_{n_0+1}^k))$.

Beachte nun die Identität

$a^k-b^k=(a-b)\cdot \sum _{j=0}^{k-1}{a}^{k-1-j}{b}^j$ für alle $a,b\in ℂ,k\in \mathbb{N}$,

also

$\frac{a_k}{a_{n_0+1}}(z^k-z_{n_0+1}^k)=(z-z_{n_0+1})q_k(z)$ für alle $k\in \{1,\dots ,n_0+1\}$

mit

$q_k(z):=\frac{a_k}{a_{n_0+1}}\cdot \sum _{j=0}^{k-1}{z}_{n_0+1}^{k-1-j}{z}^j$.

Demzufolge ist jedes $q_k$ ein Polynom, welches höchstens den Grad $k-1$ hat. Zudem ist $q_{n_0+1}$ ein normiertes Polynom vom Grad $n_0$. Somit ist

$q(z):=\sum _{k=1}^{n_0+1}{q}_k(z)$

ein normiertes Polynom vom Grad $n_0$. Nach Induktionsvoraussetzung existieren $z_1,\dots ,z_{n_0}\in ℂ$ mit

$q(z)=\prod _{k=1}^{n_0}(z-z_k)$.

Aus $p(z)=a_{n_0+1}\cdot (\sum _{k=1}^{n_0+1}(z-z_{n_0+1})q_k(z))=a_{n_0+1}(z-z_{n_0+1})q(z)$

folgt somit der Induktionsschritt.

$◻$

Wikipedia-Verweis

• Fundamentalsatz der Algebra