Beweisarchiv: Funktionalanalysis: Normierte Räume: Weissingerscher Fixpunktsatz

Satz

Es sei $(X,\Vert \cdot \Vert )$ ein Banachraum, $T:X\to X$ eine Selbstabbildung und $\{{\alpha }_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset (0,\mathrm{\infty })$ eine Folge mit $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n<\mathrm{\infty }$. Weiterhin gelte $\Vert T^m\phi -T^m\psi \Vert \le {\alpha }_m\Vert \phi -\psi \Vert \mathrm{\forall }\phi ,\psi \in X$.

Dann besitzt $T$ genau einen Fixpunkt in $X$, nämlich ${\phi }^{\ast }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }T{\phi }_n$ mit beliebigem Startwert ${\phi }_0\in X$.

Außerdem gilt die Abschätzung $\Vert {\phi }_n-{\phi }^{\ast }\Vert \le \sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_k\Vert {\phi }_1-{\phi }_0\Vert$.

Beweis

Existenz des Fixpunktes

Es sei ${\phi }_0\in X$ beliebig. Wir bilden ${\phi }_{n+1}=T{\phi }_n=T^2{\phi }_{n-1}=\dots =T^{n+1}{\phi }_0$.

Nun gilt

$\begin{array}{cc}\Vert {\phi }_{n+k}-{\phi }_n\Vert & =\Vert {\phi }_{n+k}\underset{=0}{\underbrace{-{\phi }_{n+k-1}+{\phi }_{n+k-1}}}\underset{=0}{\underbrace{-{\phi }_{n+k-2}+{\phi }_{n+k-2}}}-\dots \underset{=0}{\underbrace{+{\phi }_{n+1}}}-{\phi }_n\Vert \\ & =\Vert \sum _{r=0}^{k-1}({\phi }_{n+r+1}-{\phi }_{n+r})\Vert \\ & \stackrel{\text{Normdef.}}{\le }\sum _{r=0}^{k-1}\Vert {\phi }_{n+r+1}-{\phi }_{n+r}\Vert \\ & =\sum _{r=0}^{k-1}\Vert T^{n+r}{\phi }_1-T^{n+r}{\phi }_0\Vert \\ & \stackrel{\text{Voraussetzung}}{\le }\sum _{r=0}^{k-1}{\alpha }_{n+r}\Vert {\phi }_1-{\phi }_0\Vert \\ & =\Vert {\phi }_1-{\phi }_0\Vert \sum _{j=n}^{n+k-1}{\alpha }_j<\epsilon \text{ für }n\ge n_0(\epsilon )\end{array}$.

$\Rightarrow \{{\phi }_n\}$ ist eine Cauchyfolge. Da $X$ vollständig ist (Banachraum), konvergiert jede Cauchyfolge in $X$ und es es existiert ein ${\phi }^{\ast }\in X$ mit ${\phi }^{\ast }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_n$.

Weiterhin gilt $\Vert T{\phi }^{\ast }-{\phi }_{n+1}\Vert =\Vert T{\phi }^{\ast }-T{\phi }_n\Vert \stackrel{\text{Voraussetzung}}{\le }{\alpha }_1\Vert {\phi }^{\ast }-{\phi }_n\Vert \stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}0$.

$\stackrel{\text{Normdef.}}{⟹}T{\phi }^{\ast }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_n={\phi }^{\ast }\in X$. Damit ist ${\phi }^{\ast }$ ein Fixpunkt.

Eindeutigkeit des Fixpunktes

Beweis durch Widerspruch. Annahme: Es existieren zwei Fixpunkte ${\phi }^{\ast },{\psi }^{\ast }\in X$ mit

$\begin{array}{cc}{\phi }^{\ast }& =T{\phi }^{\ast }=T^2{\phi }^{\ast }=\dots =T^n{\phi }^{\ast }\\ {\psi }^{\ast }& =T{\psi }^{\ast }=T^2{\psi }^{\ast }=\dots =T^n{\psi }^{\ast }\end{array}$

$\Rightarrow \Vert {\phi }^{\ast }-{\psi }^{\ast }\Vert =\Vert T^n{\phi }^{\ast }-T^n{\psi }^{\ast }\Vert \stackrel{\text{Voraussetzung}}{\le }{\alpha }_n\Vert {\phi }^{\ast }-{\psi }^{\ast }\Vert \stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}0$

$\stackrel{\text{Normdef.}}{⟹}{\phi }^{\ast }-{\psi }^{\ast }=0⟺{\phi }^{\ast }={\psi }^{\ast }$.

Abschätzung

$\begin{array}{cc}\Vert {\phi }_n-{\phi }^{\ast }\Vert & =\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert {\phi }_n-{\phi }_{n+j}\Vert \\ & \stackrel{\text{s.o.}}{\le }\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=n}^{n+j-1}{\alpha }_k\Vert {\phi }_1-{\phi }_0\Vert \\ & =\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_k\Vert {\phi }_1-{\phi }_0\Vert \end{array}$