Beweisarchiv: Arithmetik: Erweiterte Rechenarten: Logarithmus: Logarithmengesetze

Definition des Logarithmus:

(1) Sind $a, y > 0$ , $a \neq 1$ dann ist $x = \log_{a} y$ die reelle Zahl für die $a^{x} = y$ ist.

(2) Also $\log_{a} a^{x} = \log_{a} y = x$

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ (Potenzgesetze) nach (2) ist

(3) $\log_{a} (a^{m} \cdot a^{n}) = \log_{a} a^{m + n} = m + n$

eingesetzt $u$ und $v$ und nach (1)

(4) $u = a^{m} ⟹ m = \log_{a} u$

(5) $v = a^{n} ⟹ n = \log_{a} v$

in (3) eingesetzt

(6) $\log_{a} (u \cdot v) = \log_{a} u + \log_{a} v$

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen des Dividenden und des Divisors

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ (Potenzgesetze) nach (2) ist

(7) $\log_{a} \frac{a^{m}}{a^{n}} = \log_{a} a^{m - n} = m - n$

eingesetzt $u$ und $v$ und nach (1) wie (4) und (5) in (7) eingesetzt

(8) $\log_{a} \frac{u}{v} = \log_{a} u - \log_{a} v$

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt des Exponenten mit dem Logarithmus der Basis

${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ (Potenzgesetze) nach (2) ist

(9) $\log_{a} ((a^{m})^{n}) = \log_{a} a^{m \cdot n} = m \cdot n$

eingesetzt $u$ nach (1) $u = a^{m} ⟹ m = \log_{a} u$ in (9) eingesetzt

(10) $\log_{a} u^{n} = n \cdot \log_{a} u$

analog gilt für $n = \frac{1}{m}$ $u^{n} = u^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{u}$ eingesetzt in (10)

(11) $\log_{a} \sqrt[m]{u} = \frac{1}{m} \log_{a} u$