Beweisarchiv: Analysis: Ungleichungen: Young'sche Ungleichung

Die Young'sche Ungleichung gehört zu den fundamentalen Ungleichungen der Analysis. Sie hat viele Anwendungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, aber auch bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen und wird beispielsweise auch für den standardmäßigen Beweis der Hölder-Ungleichung verwendet.

Allgemeine Fassung

Aussage

Sei $f:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$ eine stetige, streng monoton wachsende und unbeschränkte Funktion mit $f(0)=0$. Insbesondere existiert ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$, welche ebenfalls stetig, streng monoton wachsend und unbeschränkt ist. Dann gilt für alle $a,b\ge 0$ die Young'sche Ungleichung

$ab\le {\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^b{f}^{-1}(y)\mathrm{d}y$.

Die Gleichheit gilt genau dann, wenn $f(a)=b$ ist.

Beweis

Sei $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge von stetig differenzierbaren Funktionen, welche monoton wachsend und gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Dann gilt mit der Substitution $y=f_n(x)$ und anschließender partieller Integration

${\int }_0^b{f}_n^{-1}(y)\mathrm{d}y={\int }_0^{f_n^{-1}(b)}x{f_n}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=x{f}_n(x){|}_0^{f_n^{-1}(b)}-{\int }_0^{f_n^{-1}(b)}{f}_n(x)\mathrm{d}x=f_n^{-1}(b)b-{\int }_0^{f_n^{-1}(b)}{f}_n(x)\mathrm{d}x$.

Durch Grenzübergang $n\to \mathrm{\infty }$ folgt

${\int }_0^b{f}^{-1}(y)\mathrm{d}y=f^{-1}(b)b-{\int }_0^{f^{-1}(b)}f(x)\mathrm{d}x$,

also

${\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^b{f}^{-1}(y)\mathrm{d}y={\int }_{f^{-1}(b)}^{a}f(x)\mathrm{d}x+f^{-1}(b)\cdot b.$

Im Fall $b=f(a)$ ist dieser Ausdruck gleich $ab$. Für $b<f(a)$ ist ${\int }_{f^{-1}(b)}^{a}f(x)\mathrm{d}x>b(a-f^{-1}(b))$, da der Integrand auf $(f^{-1}(b),a)$ strikt größer als $b$ ist. Für $b>f(a)$ verwende man analog ${\int }_{f^{-1}(b)}^{a}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_a^{f^{-1}(b)}f(x)\mathrm{d}x>-b(f^{-1}(b)-a)$.

$◻$

Spezialfall

Aussage

Sind $p,q>1$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ und $a,b\ge 0$, so gilt

$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$

mit Gleichheit genau dann, wenn $a^p=b^q$.

Beweise

aus der allgemeinen Fassung

Setze $f(x)=x^{p-1}$. Die Umkehrfunktion lautet dann $f^{-1}(y)=y^{q-1}$. Die Gleichheitsbedingung $a^{p-1}=b$ ist äquivalent zu $a^p=b^q$.

unmittelbar

Ohne Einschränkung seien $a,b>0$. Wegen

$\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}{e}^x=e^x>0$

ist die Exponentialfunktion strikt konvex. Da $\frac{1}{p}\in (0,1)$ und $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, folgt

$ab=e^{\ln (a)}{e}^{\ln (b)}=e^{\frac{1}{p}\ln (a^p)+\frac{1}{q}\ln (b^q)}\le \frac{1}{p}{e}^{\ln (a^p)}+\frac{1}{q}{e}^{\ln (b^q)}=\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$.

Gleichheit gilt wegen der strikten Konvexität genau dann, wenn $\ln (a^p)=\ln (b^q)$.

als Spezialfall der Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel

Setze für $n=2$ die Summanden $a^p$ und $b^q$ und die Gewichte $\frac{1}{p}$ und $\frac{1}{q}$. Die Gleichheitsbedingung der arithmetisch-geometrischen Ungleichung überträgt sich unmittelbar.

$◻$

Skalierte Version des Spezialfalls

Aussage

Für alle $x,y\in ℝ,\epsilon >0,p,q>1$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ gilt

$|xy|\le \epsilon |x{|}^p+\frac{(p\epsilon {)}^{1-q}}{q}|y{|}^q.$

Beweis

Setze im vorigen Spezialfall für $a:=(\epsilon p{)}^{\frac{1}{p}}|x|$ und $b:=(\epsilon p{)}^{-\frac{1}{p}}|y|$.

$◻$

Wikipedia-Verweis

• Young'sche Ungleichung
• Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel