Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Produktformel von Vieta

Im Folgenden wird die Produktformel von Vieta sowie damit zusammenhängende Aussagen und Darstellungen bewiesen.

Zu beweisende Aussagen

Formel von Vieta

Mit der durch

$\begin{array}{cc}{a}_1& :=\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ a_n& :=\frac{1}{2}\sqrt{2+2a_{n-1}}n\ge 2\end{array}$

rekursiv definierten Zahlenfolge $a_n$ gilt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{i=1}^n{a}_i=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots =\frac{2}{\pi }$

Ausgeschrieben mit den ersten Faktoren lautet das unendliche Produkt:

$\frac{2}{\pi }=\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right)\cdots$

Darstellung von Euler

Die Produktformel von Vieta ergibt sich als Spezialfall aus folgendem Resultat von Euler (s. Beweis unten) durch Einsetzen von $x=\frac{\pi }{2}$:

$\begin{array}{cc}\frac{\sin (x)}{x}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{i=1}^n\cos \left(\frac{x}{2^i}\right)=\cos \left(\frac{x}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{x}{4}\right)\cdot \cos \left(\frac{x}{8}\right)\cdots \\ \frac{2}{\pi }& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{i=1}^n\cos \left(\frac{\pi }{2^{i+1}}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\cdot \cos \left(\frac{\pi }{8}\right)\cdot \cos \left(\frac{\pi }{16}\right)\cdots \end{array}$

Insbesondere resultiert hieraus folgende alternative, direkte Darstellung für die Glieder der Zahlenfolge $a_n$ (s.o.):

$a_n=\cos \left(\frac{\pi }{2^{n+1}}\right)\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}n\ge 1$

Produktfreie Darstellung

Durch weitere Umformungen und Vereinfachungen erhält man aus der Produktformel von Vieta eine produktfreie Darstellung.

Definiere hierzu die rekursive Folge $b_n$

$\begin{array}{cc}{b}_0& :=0\\ b_n& :=\sqrt{2+b_{n-1}}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}n\ge 1\end{array}$

und aufbauend die Folge $c_n$

$c_n=2^n\sqrt{2-b_{n-1}}$

Dann gilt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{2}^n\sqrt{2-\underset{(n-1)-\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}}}}=\pi$

Die ersten Glieder der Folge $c_n$ lauten:

$\begin{array}{cc}{c}_1& =2\cdot \sqrt{2}\\ c_2& =4\cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}\\ c_2& =8\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\end{array}$

$⋮⋮⋮$

Beweise

Beweis der Darstellung von Euler

Der im folgenden präsentierte Beweis basiert auf Additionstheoremen aus der Trigonometrie und einer elementaren Grenzwertbetrachtung:

Wegen

$\begin{array}{c}\underset{t\to 0}{lim}\frac{\sin t}{t}=1\end{array}$

und

$\begin{array}{cc}{2}^n\cdot \sin \left(\frac{x}{2^n}\right)& =x\cdot \left(\frac{\sin \left(\frac{x}{2^n}\right)}{\frac{x}{2^n}}\right)\end{array}$

hat man zunächst

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{2}^n\cdot \sin \left(\frac{x}{2^n}\right)& =x\end{array}$

Andererseits erhält man mit Hilfe der Verdopplungsformel für den Sinus induktiv:

$\begin{array}{cc}\sin x& =2\cdot \sin \left(\frac{x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)\\ & =2\cdot (2\cdot \sin \left(\frac{x}{4}\right)\cos \left(\frac{x}{4}\right))\cdot \cos \left(\frac{x}{2}\right)=2^2\cdot \sin \left(\frac{x}{2^2}\right)\cdot \prod _{i=1}^2\cos \left(\frac{x}{2^i}\right)\\ & ⋮⋮⋮\\ & =2^n\cdot \sin \left(\frac{x}{2^n}\right)\cdot \prod _{i=1}^n\cos \left(\frac{x}{2^i}\right)\end{array}$

Zusammenfassen dieser beiden Aussagen führt auf folgende Darstellung, die auf Euler zurückgeht:

$\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{i=1}^n\cos \left(\frac{x}{2^i}\right)\end{array}$

Analytischer Beweis der Produktformel von Vieta

Durch Einsetzen von $x=\frac{\pi }{2}$ in die Eulersche Darstellung erhält man speziell:

$\begin{array}{cc}\frac{2}{\pi }& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{i=1}^n\cos \left(\frac{\pi }{2^{i+1}}\right)\end{array}$

Es bleibt nur noch zu zeigen, dass die Kosinus-Faktoren in dieser Produktdarstellung mit den rekursiv definierten $a_n$ übereinstimmen, d.h.

$a_n=\cos \left(\frac{\pi }{2^{n+1}}\right)\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}n\ge 1$

Es wichtig zu betonen, dass man hierbei keine nähre Kenntnis über den exakten Verlauf der Kosinus-Funktion benötigt.

Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion:

1. Schritt: Nachweis für $n=1$

$a_1=\frac{1}{2}\sqrt{2}=\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2^2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2^{1+1}}\right)✓$

Diesen speziellen Wert des Kosinus kann man mittels elementarer geometrischer Überlegungen gewinnen.

2. Schritt: Schluss von $n$ auf $n+1$

$\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& =\frac{1}{2}\sqrt{2+2a_n}\\ & =\sqrt{\frac{1+a_n}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1+\cos \left(\frac{\pi }{2^{n+1}}\right)}{2}}\mathrm{(}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{)}\\ & =\cos \left(\frac{\pi }{2^{n+2}}\right)✓\end{array}$

Die letzte Umformung im obigen Induktionsschritt beruht auf der Halbierungsformel für den Kosinus.

Beweis der produktfreien Darstellung

Durch Kehrwertbildung und Multiplikation mit 2 folgt aus der Vietaschen Produktformel unmittelbar folgende Produktformel für $\pi$:

$\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2\cdot \prod _{i=1}^n\frac{1}{a_i}$

Die Behauptung ist offensichtlich wahr, wenn für die Zahlenfolge $c_n$

$c_n=2\cdot \prod _{i=1}^n\frac{1}{a_i}$

gilt. Dies lässt sich durch vollständige Induktion zeigen:

1. Schritt: Nachweis für $n=1$

$2\cdot \frac{1}{a_1}=2\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}=2\sqrt{2-0}=2\sqrt{2-b_0}=c_1✓$

2. Schritt: Schluss von $n$ auf $n+1$

$\begin{array}{cc}2\cdot \prod _{i=1}^{n+1}\frac{1}{a_i}& =\left(\underset{=c_n}{\underbrace{2\cdot \prod _{i=1}^n\frac{1}{a_i}}}\right)\cdot \frac{1}{a_{n+1}}=c_n\cdot \frac{1}{a_{n+1}}\\ & =2^n\sqrt{2-b_{n-1}}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2+2a_n}}\\ & =2^{n+1}\sqrt{2-b_{n-1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2+2a_n}}\\ & =2^{n+1}\sqrt{2-b_{n-1}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2+b_n}}(\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}{b}_n=2a_n)\\ & =2^{n+1}\sqrt{2-(b_n^2-2)}\cdot \frac{1}{\sqrt{2+b_n}}(\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{n}{b}_n)\\ & =2^{n+1}\sqrt{4-b_n^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2+b_n}}\\ & =2^{n+1}\sqrt{(2+b_n)(2-b_n)}\cdot \frac{1}{\sqrt{2+b_n}}\\ & =2^{n+1}\sqrt{2-b_n}=c_{n+1}✓\end{array}$

Siehe auch

• Produktformel von Vieta
• Vieta
• Berechnung von Pi
• Wurzel 2