Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Chinesischer Restsatz

Chinesischer Restsatz

(Für kommutative Ringe mit 1)

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1, $A_1,A_2,...,A_n$ Ideale von $R$, für die gilt

$A_i+A_j=R$ für $i\ne j$,

und $b_1,b_2,...,b_n\in R$. Dann gibt es ein $b\in R$, für das gilt

$b\equiv b_{i}mod{A}_i$ für $i=1,\dots ,n$.

Dieses $b$ ist eindeutig Modulo $\bigcap _{i=1}^n{A}_i$.

Beweis:

Behauptung: Ist $n\ge 2$, so gilt mit den Voraussetzungen des Satzes

$A_1+A_2{A}_3\cdots A_n=R.$

Der Beweis der Behauptung erfolgt durch Induktion nach $n$.

Für $n=2$: $A_1+A_2=R$ laut Voraussetzungen des Satzes.

Für $n>2$: Nach Induktionsvoraussetzung gilt

$A_1+A_2{A}_3\cdots A_{n-1}=R.$

Da ferner $A_1+A_n=R$ gilt, folgt

$R\cdot R=(A_1+A_2{A}_3\cdots A_{n-1})\cdot (A_1+A_n)=A_1\cdot (\dots )+A_2{A}_3\cdots A_{n-1}\cdot A_n\subseteq A_1+A_2{A}_3\cdots A_n\subseteq R$

und wegen $R\cdot R=R$ die Induktionsbehauptung.

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Aus Symmetriegründen gilt dann allgemeiner für $1\le i\le n$

$A_i+A_1{A}_2\cdots A_{i-1}\cdot A_{i+1}\cdots A_n=R.$

Da für beliebige Ideale I,J von R gilt: $IJ\subseteq I\cap J$, folgt durch Induktion

$A_i+\bigcap _{j=1,j\ne i}^n{A}_j=R$.

Für $1\le i\le n$ gilt $b_i\in R=A_i+\bigcap _{j=1,j\ne i}^n{A}_j$, also gibt es ein $c_i\in A_i$ und ein $d_i\in \bigcap _{j=1,j\ne i}^n{A}_j$, für die $b_i=c_i+d_i$, also $b_i\equiv d_{i}mod{A}_i$ ist.

Setze $b:=d_1+\cdots +d_n$. Dann gilt

$b=d_1+\cdots +d_n\equiv 0+\cdots +0+d_i+0+\cdots +0\equiv d_i\equiv b_{i}mod{A}_i$ für $i=1,\dots ,n$.

Also löst $b$ das Kongruenzensystem. Löst ein weiteres $b^{\prime }$ das Kongruenzensystem löst, so gilt für $1\le i\le n$

$b^{\prime }\equiv b_i\equiv bmod{A}_i,$

also liegt $b-b^{\prime }$ in jedem $A_i$ also auch in $\bigcap _{j=1}^n{A}_j$, d.h. es ist $b\equiv b^{\prime }mod\bigcap _{j=1}^n{A}_j$.

Damit ist der Beweis abgeschlossen.