Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

Voraussetzung

Sei $R$ ein kommutativer unitärer Ring sowie $a, b \in R, n \in ℕ_{0}$ beliebig.

Es gilt $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}$ .

Durch vollständige Induktion über $n$ .

$n = 0$ :

(a + b)^{0} = 1 = (\binom{0}{0}) a^{0} b^{0} = \sum_{k = 0}^{0} (\binom{0}{k}) a^{k} b^{0 - k}

Induktionsschritt: $n \to n + 1$

Annahme: $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}$ gilt für ein $n \in ℕ_{0}$

Behauptung: $(a + b)^{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k}$

Beweis:

Durch Verwenden der Annahme gilt:

(a + b)^{n + 1} = (a + b) (a + b)^{n} = (a + b) \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}

= a \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k} + b \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}

(1. Anwenden des Distributivgesetzes)

= \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k}

(2. Hineinmultiplizieren der Faktoren

a, b

in die jeweilige Summe)

Jetzt müssen die Summen wieder vernünftig zusammengeführt werden. Dazu wird folgende Identität verwendet:

(\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k}) = (\binom{n + 1}{k})

Diese lässt sich durch einfaches Ausrechnen beweisen.

Um die entsprechenden Binomialkoeffizienten zu erhalten, wird in (2) der Index der linken Summe um 1 erhöht:

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k}

= \sum_{k = 1}^{n + 1} (\binom{n}{k - 1}) a^{k} b^{n - k + 1} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k}

(3. Indexverschiebung des linken Summanden)

= a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k - 1}) a^{k} b^{n - k + 1} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k} + b^{n + 1}

(4. je einen Summanden aus der Summe herausziehen)

= b^{n + 1} + a^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n} ((\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k})) a^{k} b^{n + 1 - k}

(5. Summen addieren und Distributivgesetz anwenden)

= (\binom{n + 1}{0}) a^{0} b^{(n + 1) - 0} + (\binom{n + 1}{n + 1}) a^{n + 1} b^{(n + 1) - (n + 1)} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k}

= \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) a^{k} b^{n + 1 - k}

◻