Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π

Transzendenz von $e$ und $\pi$

Der folgende Beweis beruht auf Hilberts Aufsatz "Über die Transzendenz der Zahlen $e$ und $\pi$" (siehe unten). Er wird als Widerspruchsbeweis geführt, d. h. es wird angenommen, dass die Zahlen $e$ und $\pi$ algebraisch seien. Von fundamentaler Bedeutung ist der für alle $k\in \mathbb{N}$ geltende Sachverhalt

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^k{e}^{-x}dx=k!$ (1)

Beim Beweis für $e$ geht man folgendermaßen vor: Man nimmt an, dass $e$ algebraisch sei, also einer Gleichung

$a+a_{1}e+a_2{e}^2+\dots +a_n{e}^n=0$ (2)

mit ganzen Koeffizienten genüge. Man betrachtet nun das Integral

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{z}^k[(z-1)(z-2)\dots (z-n){]}^{k+1}{e}^{-z}dz$

dessen Integrand das Produkt der Funktionen $[z(z-1)(z-2)\dots (z-n){]}^k$ und $(z-1)(z-2)\dots (z-n)e^{-z}$ ist. Dieses Integral multipliziert man nun mit der linken Seite der Gleichung (2) und bekommt folgenden Ausdruck:

$a{\int }_0^{\mathrm{\infty }}+a_{1}e{\int }_0^{\mathrm{\infty }}+\dots +a_n{e}^n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}$

Diesen Ausdruck kann man aufspalten in $P_1+P_2$ mit

$P_1=a{\int }_0^{\mathrm{\infty }}+a_{1}e{\int }_1^{\mathrm{\infty }}+\dots +a_n{e}^n{\int }_n^{\mathrm{\infty }}$

$P_2=a_{1}e{\int }_0^1+a_2{e}^2{\int }_0^2+\dots +a_n{e}^n{\int }_0^n$

Ziel ist es nun zu zeigen, dass $\frac{P_1}{k!}+\frac{P_2}{k!}$ ungleich Null ist. Dazu weist man nach, dass $\frac{P_1}{k!}$ eine ganze von Null verschiedene Zahl und $\left|\frac{P_2}{k!}\right|$ kleiner als 1 ist.

Um zu zeigen, dass $\frac{P_1}{k!}$ eine ganze von Null verschiedene Zahl ist, zeigt man mit (1), dass das Integral ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}$ eine ganze, durch $k!$ teilbare Zahl ist und die übrigen Integrale ${\int }_i^{\mathrm{\infty }}$, $i=1,\dots ,n$ sogar mindestens durch $(k+1)!$ teilbar sind. Nach wenigen Schritten wählt man schließlich $k$ so, dass $k+1$ eine Primzahl ist, die größer als $n$ und $a$ ist und erhält die gewünschte Forderung für $\frac{P_1}{k!}$.

Um zu zeigen, dass $\frac{P_2}{k!}<1$ ist, stellt man fest, dass die Funktionen

$z(z-1)(z-2)\dots (z-n)$ und $(z-1)(z-2)\dots (z-n)e^{-z}$

als stetige Funktionen auf dem Intervall $[0,n]$ durch $G$ bzw. $H$ beschränkt sind. Dann lassen sich die einzelnen Integrale in $P_2$ sehr gut abschätzen und man kommt zu der Ungleichung:

$\frac{P_2}{k!}\le \frac{H\cdot G^k}{k!}.$

Da $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{G^k\cdot H}{k!}=0,$ existiert ein genügend großes $k$ sowie ein davon abhängiges $\frac{P_2}{k!}$, für welche gilt:

$\left|\frac{P_2}{k!}\right|\le \frac{G^k\cdot H}{k!}<1$

Da es unendlich viele Primzahlen gibt, existiert ein $k$, für das sowohl $\frac{P_1}{k!}\ne 0$ als auch $\left|\frac{P_2}{k!}\right|<1$ gilt.

Der Transzendenzbeweis von $\pi$ verläuft ähnlich. Man nimmt ebenfalls an, dass $\pi$ algebraisch ist. Dann ist auch $i\pi$ algebraisch und Wurzel eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten und es gilt:

$(e^{z_1}+1)(e^{z_2}+1)\dots (e^{z_n}+1)=0,$

wenn $z_1=i\pi$ ist. Es gilt: $z_2=-i\pi$ ist als konjungiert komplexe Zahl ebenfalls Wurzel des Polynoms. Ausmultiplizieren liefert:

$e^{y_1}+e^{y_2}+\dots +e^{y_N}+1=0,$

wobei die $y_l$ die Summen der Wurzeln $z_j$ sind. Einige (wie z.B. $z_1+z_2)$ haben den Wert 0 und tragen auf der linken Seite der Gleichung den Wert 1 bei (da $e^0=1$). Dann ergibt sich:

$e^{y_1}+e^{y_2}+\dots +e^{y_M}+a=0,$

wobei die $y_1,\dots ,y_M$ jene Summen der $z_j$ sind, die ungleich Null sind und $a=N-M+1$ ist.

Nun geht man ähnlich wie beim Transzendenzbeweis von $e$ vor. Man multipliziert diese Gleichung wieder mit einem Integral und spaltet die sich ergebende Summe wieder in $P_1+P_2$ auf. Mit Hilfe einiger Fakten aus der Theorie der symmetrischen Funktionen und einiger geschickter Abschätzungen der Integrale zeigt man, dass eine Gleichung $\frac{P_1}{k!}+\frac{P_2}{k!}=0$ nicht bestehen kann.

Genauere Erläuterungen und Zwischenschritte zu den Transzendenzbeweisen von $e$ und $\pi$ kann man den ausführlichen Beweisen von Fritsch entnehmen (siehe Weblinks).

Literatur

• D. Hilbert Über die Transcendenz der Zahlen $e$ und $\pi$. Mathematische Annalen 43, 216-219 (1893).

Weblinks

• Der Beweis (nach Hilbert), dass e und π transzendent sind (als PDF)
• Ein ausführlicher Beweis (nach Hilbert), dass π transzendent ist

Wikipedia-Verweise

Transzendente Zahl · Kreiszahl · Eulersche Zahl