Beweisarchiv: Algebra: Körper: Endlicher Integritätsbereich

Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper

Voraussetzung

Der Ring $R$ sei endlich und ein Integritätsbereich.

(Ein Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement $1\ne 0$.)

Behauptung

$R$ ist ein Körper.

Beweis 1 (kombinatorisch)

$a$ sei ein Element des Ringes mit $a\ne 0$. Wir müssen zeigen, dass $a$ ein multiplikatives Inverses hat, denn alle anderen Körperaxiome sind in einem kommutativen Ring mit $1$ schon erfüllt.

Dazu betrachten wir die Abbildung $f:R\to R,x\mapsto ax$ (Linksmultiplikation mit $a$) und zeigen, dass diese injektiv ist.

Seien daher zwei Elemente $x,y\in R$ mit $f(x)=f(y)$ gegeben. Das heißt $ax=ay$, also $a(x-y)=0$. Da $R$ nullteilerfrei und $a\ne 0$ ist, muss $x-y=0$ sein, also $x=y$. Damit ist f als injektiv nachgewiesen.

Eine injektive Funktion einer endlichen Menge in sich selbst ist auch surjektiv, also ist $f$ bijektiv. Die $1$ hat also genau ein Urbild $b$ unter der Funktion $f$. Für dieses gilt $f(b)=ab=1$, es ist also das gesuchte inverse Element zu $a$ (wobei noch die Kommutativität des Ringes eingeht).

Beweis 2 (mit linearer Algebra)

Es sei $K$ das Bild des kanonischen Ringhomomorphismus $\mathbb{Z}\to R$; $K$ ist ein endlicher Körper, und $R$ ist eine $K$-Algebra.

Wie im ersten Beweis betrachten wir die Linksmultiplikation mit einem Element $a\in R$,

$x\mapsto ax,$

und wie im ersten Beweis folgt die Injektivität dieser Abbildung. Sie ist ein $K$-linearer Endomorphismus des endlichdimensionalen Vektorraumes $R$, nach der Dimensionsformel also auch surjektiv. Das weitere Vorgehen ist wie in Beweis 1.

Beweis 3 (mit Körpertheorie)

$K$ sei wie in Beweis 2, und es sei $L$ der Quotientenkörper von $R$. $L$ ist eine endliche, also algebraische Erweiterung von $K$. Für jedes Element $a\in R$ ist $K(a)\subseteq R$ eine Körpererweiterung von $K$, insbesondere ist $a$ in $K(a)$ und damit in $R$ invertierbar.

Beweis 4 (mit kommutativer Algebra)

Endliche Ringe sind artinsch, und artinsche Integritätsbereiche sind Körper.

Verschärfung: Einselement muss nicht vorausgesetzt werden

Die Voraussetzung kann dahingehend abgeschwächt werden, dass $R$ ein endlicher nullteilerfreier kommutativer Ring mit mindestens zwei Elementen ist: Sei $a\in R\setminus \{0\}$. Die unendlich vielen Elemente $a,a^2,a^3,\dots$ können nach dem Schubfachprinzip nicht alle verschieden sein, es gibt also natürliche Zahlen $k,n$ mit $1\le k<n$ und $a^k=a^n$. setze $e:=a^{n-k}$ (beachte $n-k\in \mathbb{N}$, die Potenz kann also gebildet werden). Sei $b\in R$ beliebig. Dann

$a^k\cdot (e\cdot b-b)=a^k\cdot e\cdot b-a^k\cdot b=a^n\cdot b-a^k\cdot b=(a^n-a^k)\cdot b=0\cdot b=0.$

Wegen $a\ne 0$ folgt $a^k\ne 0$ und somit $e\cdot b-b=0$ bzw. $e\cdot b=b$. Analog folgt $b\cdot e=b$. Somit ist $e$ Einselement von $R$ (und als Potenz von $a$ auch von 0 verschieden), d.h. die ursprüngliche Voraussetzung des Satzes ist erfüllt.

Wikipedia-Verweise

Injektivität - Integritätsbereich - Körper - Ringtheorie - Surjektivität