Beweisarchiv: Algebra: Körper: Die Existenz der reellen Wurzel

Beweisarchiv: Algebra: TOPNAV Die Existenz der Wurzel in den reellen Zahlen $ℝ$ wird hier unter der Voraussetzung eingesehen, dass $ℝ$ ein vollständig angeordneter Körper ist.

Satz

Seien $v\in ℝ$ mit $v\ge 0$ und $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge 1$. Dann existiert genau ein $z\in ℝ$ mit $z\ge 0$ und $z^n=v$.

Hilfsaussage 1

Sei $c\in ℝ$ mit $0<c<1$. Dann ist $c^n\le c$ für alle $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge 1$.

Beweis

Seien $x\in ℝ$ mit $x>0$ und $d\in ℝ$ mit $d<1$, dann ist $dx<x$. Ist nämlich $dx\ge x$, folgt $dx\cdot x^{-1}=d\ge x\cdot x^{-1}=1$, im Widerspruch zu $d<1$. Gilt nun $c<1$, so ist auch $c\cdot c<c$, was man induktiv bis $c^n<c$ fortführen kann.

Hilfsaussage 2

Seien $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge 1$ und $a,s\in ℝ$ mit $a,s>0$ und gelte $s^n<a$, so existiert auch ein $t\in ℝ$ mit $t>s$ und $t^n<a$.

Beweis

Setze $b:=\frac{a}{s^n}>1$, dann ist insbesondere $s^{n}b=a$. Setze weiter $t=s(1+\epsilon )$ mit $0<\epsilon \le 1$, dann ist $t^n=s^n(1+\epsilon {)}^n$. Für $t^n$ soll $t^n<a$ gelten. Können wir also ein $\epsilon \in (0,1]$ mit $(1+\epsilon {)}^n<b$ finden, so haben wir die Aussage gezeigt. Sei nun $e$ ein beliebiges Element aus $(0,1]$, dann ist $(1+e{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e^k$ (binomischer Lehrsatz). Wir wollen nun $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e^k<b$ haben. Es gilt $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e^k=1+\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e^k<b\iff \sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e^k<b-1$.
Gilt für unser gewähltes $e$ nun $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e^k<b$, so ist auch $(1+e{)}^n<b$ und wir haben mit $\epsilon =e$ auch $t^n=s^n(1+\epsilon {)}^n<a$ und sind zufrieden.
Gilt jedoch $\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e^k\ge b-1$, so setze $c:=\frac{b-1}{\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e^k}\le 1$, aber auch $c>0$. Nun nehme $d:=\frac{c}{2}$, dann ist $d\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e^k<b-1$. Nun folgt mit Hilfsaussage 1 auch $b-1>d\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e^k=\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})d{e}^k\ge \sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})d^k{e}^k=\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(de{)}^k$. Setze nun $\epsilon :=de>0$, so ist $\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\epsilon }^k<b-1\iff \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\epsilon }^k=(1+\epsilon {)}^n<b$, also auch $t^n=s^n(1+\epsilon {)}^n<s^{n}b=a$.

Hilfsaussage 3

Seien $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge 1$ und $a,s\in ℝ$ mit $a,s>0$ und gelte $s^n>a$, so existiert ein $0<t<s$ mit $t^n>a$.

Beweis

Analog zum Beweis von Hilfsaussage 2, nur diesmal definieren wir $b:=\frac{s^n}{a}>1$ und nehmen $t=\frac{s}{1+\epsilon }<s$. Es gilt nun $\frac{s^n}{b}=a$, nun finden wir wie oben ein $\epsilon >0$ mit $1<(1+\epsilon {)}^n<b$ und haben $t^n=\frac{s^n}{(1+\epsilon {)}^n}>\frac{s^n}{b}=a$.

Beweis der Eindeutigkeit

Gelte $z,v\ge 0$ und $z^n=v$, so ist für alle $x\in ℝ$ mit $x<z$ auch $x^n<z^n=v$ und für alle $y\in ℝ$ mit $y>z$ ist $y^n>z^n=v$, in diesem Fall ist $z$ also eindeutig bestimmt.

Beweis der Existenz

Nun beweisen wir die Existenz der Wurzel. Zunächst sei $v=0$, so ist $z^n=0=v$ für $z=0$ erfüllt, in diesem Fall existiert $z$ also. Gilt nun $v>0$, so definieren wir die Menge $M:=\{x\in ℝ|x\ge 0\wedge x^n\le a\}\subseteq ℝ$. Diese Menge ist insbesondere nicht leer, denn es ist $0^n=0\le a$, also $0\in M$. Außerdem ist die Menge nach oben beschränkt. Ist $a<1$, so ist $1^n>a$, also ist $1$ eine obere Schranke von $M$. Ist $a\ge 1$, so ist $a^n\ge a$, also ist in diesem Fall $a$ eine obere Schranke von $M$. Nach dem Vollständigkeitsaxiom können wir $s:=\sup M$ definieren, und es gilt $s^n=a$. Ist nämlich $s^n>a$, so existiert nach Hilfsaussage 3 ein $t\in ℝ$ mit $t<s$ und $t^n>a$, also ist $t$ eine kleinere obere Schranke von $M$, im Widerspruch zu $s=\sup M$. Ist $s^n<a$, so existiert nach Hilfsaussage 2 ein $t>s$ mit $t^n<a$, und es ist $t\in M$, ebenfalls ein Widerspruch zu $s=\sup M$.

Damit ist auch die Existenz der Wurzel eingesehen, die Zahl $z$ nennt man dann natürlich die $n$-te Wurzel von $v$, also $z=\sqrt[n]{v}$.

Wikipedia-Verweis

Wurzel (Mathematik)