Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

Voraussetzung

$G$ sei eine endliche Gruppe mit einer Untergruppe $H$.

Behauptung

Die Ordnung der Untergruppe $|H|$ (Anzahl der Elemente) ist ein Teiler der Gruppenordnung $|G|$.

Beweis

Die Linksnebenklassenbildung, also die Abbildung $f:G\ni a\mapsto \{a\circ u\mid u\in H\}$ stellt eine Äquivalenzrelation auf $G$ dar ($u\sim v⟺f(u)=f(v)$), bei der jede Äquivalenzklasse die Mächtigkeit $|H|$ hat. Da die Vereinigung dieser Äquivalenzklassen ganz $G$ ergibt und die Äquivalenzklassen paarweise disjunkt sind, ist $|H|$ ein Teiler von $|G|$.

Wikipedia-Verweise

abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid