Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Lineare Abbildungen und Matrizen

Satz

Seien $n, m \in ℕ$ mit $n, m \geq 1$ sowie $K \in {ℝ, ℂ}$ und $L : K^{n} \to K^{m}$ linear: Dann existiert eine $m \times n$ -Matrix $A \in K^{m \times n}$ mit $L (x) = A x$ für alle $x \in K^{n}$ .

Beweis

Sei $L$ entsprechend der obigen Definition gegeben und sei $(e_{1}, \dots, e_{n})$ die kanonische Basis des $K^{n}$ . Dann definiere die $i$ -te Spalte von $A$ durch $A e_{i} := L e_{i}$ für $1 \leq i \leq n$ . Sei nun $x = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T} \in K^{n}$ . Dann gilt mit den Rechenregeln für Matrizen:

$\begin{matrix} L (x) & = L (x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}) = L (x_{1} e_{1}) + \dots + L (x_{n} e_{n}) \\ = x_{1} L (e_{1}) + \dots + x_{n} L (e_{n}) = x_{1} A e_{1} + \dots + x_{n} A e_{n} \\ = A (x_{1} e_{1}) + \dots + A (x_{n} e_{n}) = A (x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}) \\ = A x \end{matrix}$ .

◻

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