Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen

Satz

Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist direktes Produkt einer frei-abelschen Gruppe von endlichem Rang und einer endlichen abelschen Gruppe. Hierbei ist der Rang der frei-abelschen Gruppe eindeutig und die endliche Gruppe bis auf Isomorphie eindeutig.

Beweis

Zur Eindeutigkeit

Sei $G$ endlich erzeugte Gruppe und $G\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus H$, wobei $H$ endlich ist. Dann ist $H$ in der Summe rechts die Torsionsuntergruppe (die Menge der Elemente endlicher Ordnung), folglich isomorph zur Torsionsuntergruppe von $G$. Ferner folgt $G{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}\cong {\mathbb{Q}}^r$, so dass auch $r$ als Dimension dieses $\mathbb{Q}$-Vektorraumes eindeutig gegeben ist.

Zur Existenz

Sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe mit additiv geschriebener Verknüpfung. Ist $g=(g_1,\dots ,g_k)$ ein endliches Erzeugendensystem von $G$, d. h. es gilt $G=⟨g_1,\dots ,g_k⟩$, so definiert dies einen Gruppenepimorphismus ${\varphi }_g:{\mathbb{Z}}^k\to G$ vermöge $\varphi (a_1,\dots ,a_k)=a_1\cdot g_1+\cdots +a_k\cdot g_k$. Der Beweis erfolgt per Induktion nach der Länge $k$ des Erzeugendensystems. Für den Induktionsanfang $k=0$ folgt sofort, dass $G$ die triviale Gruppe ist, und für diese existiert die gewünschte Zerlegung trivialerweise.

Sei also fortan $k>0$ und die Aussage für von weniger Elementen erzeugte Gruppen bereits gezeigt. Sei $\pi :{\mathbb{Z}}^r\to \mathbb{Z}$ die Projektion auf die erste Komponente und sei $A_g:=\pi \ker {\varphi }_g$ das Bild des Kerns von ${\varphi }_g$ unter dieser Projektion. Dies ist eine Untergruppe der ersten Komponente $\mathbb{Z}$, also von der Form $A_g=d\mathbb{Z}$ mit $d\in {\mathbb{N}}_0$. Ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit sei $g$ unter allen Erzeugendensystemen der Länge $k$ derart gewählt, dass $d$ minimiert wird.

Falls $d=0$, so gilt $G=⟨g_1⟩\oplus ⟨g_2,\dots ,g_k⟩$. Hierbei ist $⟨g_1⟩\cong \mathbb{Z}$ und nach Induktionsvoraussetzung $⟨g_2,\dots ,g_k⟩\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus H$ für ein $r\in {\mathbb{N}}_0$ und endliches $H$. Es folgt $G\cong {\mathbb{Z}}^{r+1}\oplus H$ wie gewünscht.

Falls dagegen $d>0$, wähle ein Element $(a_1,a_2,\dots ,a_k)\in \ker {\varphi }_g$ mit $a_1=d$. Sei $2\le i\le k$. Per Division mit Rest findet man $q,d^{\prime }\in \mathbb{Z}$ mit $a_i=qd+d^{\prime }$ und $0\le d^{\prime }<d$. Definiere $h=(h_1,\dots ,h_k)$ durch $h_1:=g_i$, $h_i:=g_1+q\cdot g_i$ und ansonsten $h_j:=g_j$. Dann ist auch $h$ ein Erzeugendensystem der Länge $k$ von $G$. Mit $b_1:=d^{\prime }$, $b_i:=d$ und ansonsten $b_j:=a_j$ ergibt sich wegen $b_1\cdot h_1+b_i\cdot h_i=(a_i-qd)\cdot g_i+d\cdot (g_1+q\cdot g_i)=a_i\cdot g_i+a_1\cdot g_1$, dass $(b_1,\dots ,b_k)\in \ker {\varphi }_h$. Wegen der Minimalität von $d$ ist $1\le d^{\prime }<d$ ausgeschlossen, d. h. $a_i$ ist ein Vielfaches von $d$. Setze daher $q_i:=\frac{a_i}{d}$ für $1\le i\le k$ (insb. also $q_1=1$) sowie

$y:=\sum _{i=1}^k{q}_i\cdot g_i$.

Da sich $g_1$ wieder aus $y$ und den anderen Erzeugern kombinieren lässt, ergibt sich $G=⟨y,g_2,\dots ,g_k⟩$. Dies lässt sich auch schreiben als $G=⟨y⟩+⟨g_2,\dots ,g_k⟩$. Diese Summenzerlegung ist sogar direkt, denn aus $a\cdot y=\sum _{i=2}^k{a}_i\cdot g_i$ ergibt sich durch Einsetzen, dass $a\in A_g$ gilt, also $a$ Vielfaches von $d$ ist. Es ist jedoch bereits $d\cdot y=0$. Nach Induktionsvoraussetzung ist $⟨g_2,\dots ,g_k⟩\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus H$ für ein endliches $H$. Es folgt $G\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus (H\oplus ⟨y⟩)$ wie gewünscht.