Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Elementordnung 2

Elementordnung 2 impliziert Kommutativität

Voraussetzung

$G$ sei eine beliebige Halbgruppe mit Neutralelement $1$. Für jedes Element $x\in G$ gelte $x^2=1$.

Behauptung

$G$ ist eine abelsche Gruppe.

Beweis

1. Wegen $xx=1$ hat jedes Element $x\in G$ ein inverses Element (nämlich sich selbst). Damit ist $G$ als Gruppe erkannt.
2. Seien $x,y\in G$ beliebig. Wir müssen $xy=yx$ nachweisen, und dazu rechnen wir:
   $xy=x1y=x(xy{)}^{2}y=xxyxyy=1yx1=yx$.
   Dabei wird für das 2. und das 4. Gleichheitszeichen die Voraussetzung benutzt.

Wikipedia-Verweise

abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid