Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Bahnensatz

Beweisarchiv: Algebra: TOPNAV Der Bahnensatz beschreibt eine Bijektion zwischen der Bahn eines Mengenelements unter einer Gruppenoperation und der Menge der (Links-)Nebenklassen der zugehörigen Stabilisatoruntergruppe.

Sei

$(G,\cdot )$

eine Gruppe und

$\circ :G\times M\to M$

eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$.

Wir werden folgende Bezeichnungen verwenden:

• $G\circ x:=\{m\in M|\mathrm{\exists }g\in G$ mit $m=g\circ x\}\subseteq M$ sei die Bahn von $x$,
• $G_x:=\{g\in G|g\circ x=x\}\le G$ die Stabilisatoruntergruppe von $x$ und
• $G/G_x:=\{A\in 𝒫(G)|\mathrm{\exists }g\in G$ mit $A=g\cdot G_x\}\subseteq 𝒫(G)$ die Menge der (Links-)Nebenklassen von $G_x$ in $G$.

Satz

Für jedes

$x\in M$

ist die Abbildung

$G/G_x\to G\circ x,g\cdot G_x\mapsto g\circ x$

eine wohldefinierte Bijektion.

Beweis

1. Wohldefiniertheit: Aus $s\cdot G_x=t\cdot G_x$ folgt $s^{-1}\cdot t\in G_x$, also $s\circ x=s\circ ((s^{-1}\cdot t)\circ x)=(s\cdot s^{-1}\cdot t)\circ x=t\circ x$.
2. Surjektivität: Ist klar nach Definition der Bahn.
3. Injektivität: Es bezeichne $e$ das neutrale Element von $G$. Aus $s\circ x=t\circ x$ folgt $(s^{-1}\cdot t)\circ x=s^{-1}\circ (t\circ x)=s^{-1}\circ (s\circ x)=(s^{-1}\cdot s)\circ x=e\circ x=x$, also $s^{-1}\cdot t\in G_x$. Dies impliziert $s\cdot G_x=t\cdot G_x$.

$◻$

Wikipedia-Verweise

Bahnformel