Aufgabensammlung Physik: Teilchen auf schiefer Ebene mit Lagrangen Multiplikatoren

Teilchen auf schiefer Ebene mit Lagrangen Multiplikatoren

Berechne mithilfe der Methode der Lagrangen Multiplikatoren, der Lagrange-Gleichungen 1. Art, die Bewegungsgleichung des Teilchens auf der schiefen Ebene und die Zwangskräfte des Systems.

Lösungshinweise

Für die Lösung der Aufgabe müssen 3N+s Gleichungen aufgestellt werden: Zum einen die Zwangsbedingungen $f_s$ des Systems, und die daraus folgenden Lagrange Gleichungen 1. Art.

Aufstellung der Gleichungen

Die Zwangsbedingungen des Systems:

• (1.) $f_1=0=x\cdot \sin (\alpha )-y\cdot \cos (\alpha )$
• (2.) $f_2=0=z$

Die sich ergebenden Lagrangegleichungen 1. Art $\frac{d^2}{d{t}^2}m{r}_i=\overrightarrow{F_i}+\overrightarrow{F_{Z{w}_i}}=\overrightarrow{F_i}+{\lambda }_s\sum _{i=1}^N\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{f}_s$ :

• (3.) $m{\ddot{r}}_x=0+{\lambda }_1{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}_x{f}_1=0+{\lambda }_1\cdot \sin (\alpha )$
• (4.) $m{\ddot{r}}_y={\overrightarrow{F}}_G+{\lambda }_1{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}_y{f}_1=mg\cdot {\overrightarrow{e}}_y-{\lambda }_1\cdot \cos (\alpha )$
• (5.) $m{\ddot{r}}_z=0+{\lambda }_2{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}_z{f}_2=0+{\lambda }_2\cdot {\overrightarrow{e}}_z={\lambda }_2$

Bestimmen der Unbekannten

Mithilfe dieser Gleichungen bestimmen wir nun die Unbekannten des Systems $x(t),y(t),z(t),{\lambda }_1,{\lambda }_2$ :

Berechnen von ${\lambda }_2$ mit Gleichung 2. und 5.:

$\begin{array}{cc}& z(t)=0\to \ddot{z}(t)=0\\ \to & m\ddot{z}=0={\lambda }_2\end{array}$

Berechnen von ${\lambda }_1$ mit Gleichung 3. und 4.:

Wir multiplizieren: $3.\cdot \sin (\alpha )-4.\cdot \cos (\alpha )$

$\begin{array}{ccc}& m\cdot (\ddot{x}\sin (\alpha )-\ddot{y}\cos (\alpha ))={\lambda }_1\cdot {\sin }^2(\alpha )+{\lambda }_1\cdot {\cos }^2(\alpha )-m\cdot g\cdot \cos (\alpha )⟹& {\lambda }_1=m\cdot (g\cdot \cos (\alpha )+\ddot{x}\sin (\alpha )-\ddot{y}\cos (\alpha ))\end{array}$

Mit Gleichung 1. kann gezeigt werden:

$\frac{d^2}{d{t}^2}x\cdot \sin (\alpha )-y\cdot \cos (\alpha )=\ddot{x}\sin (\alpha )-\ddot{y}\cos (\alpha )=0$

Also: ${\lambda }_1=mg\cdot \cos (\alpha )$

So lässt sich die Zwangskraft berechnen: $\overrightarrow{F_{Z{w}_i}}={\lambda }_s\sum _{i=1}^N\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{f}_s=mg\cdot \cos (\alpha )\begin{array}{c}\sin (\alpha )\\ \cos (\alpha )\\ 0\end{array}$ $⟹|F_{ZW}|=-mg\cdot \cos (\alpha )$

Berechnen der Bewegungsgleichungen mit Gleichungen 3. und 4.

$\begin{array}{cc}& 3.\cdot \cos (\alpha )+4.\cdot \sin (\alpha )\\ \Rightarrow & m(\ddot{x}\cos (\alpha )+\ddot{y}\sin (\alpha ))=mg\cdot \sin (\alpha )\end{array}$

Wir führen eine neue Variable $b=x\cdot \cos (\alpha )+y\cdot \sin (\alpha )\to \ddot{b}=\ddot{x}\cdot \cos (\alpha )+\ddot{y}\cdot \sin (\alpha )$ ein.

$\Rightarrow \ddot{b}=g\cdot \sin (\alpha )$

Lösung der DGL 2. Ordnung ergibt: $b(t)=b_0(t=0)+{\ddot{b}}_0(t=0)\cdot t-\frac{1}{2}g\sin (\alpha )t^2$ Wie jede DGL, ist diese erst durch die 2 Randbedingungen $b_0(t=0)$ und ${\ddot{b}}_0(t=0)$ bestimmt. Setzen wir für $b(t)$ wieder die ursprünglichen Koordinaten, können wir Gleichung 1. nutzen, um die Gleichung noch nach x oder y aufzulösen.