Aufgabensammlung Physik: Lagrange Bewegungsgleichungen eines sphärischen Pendels

Bewegungsgleichung einer freien Teilchens mit der Lagrange Gleichung

Ein Pendel bewege sich im festen Abstand $l$ in der der x,y,z-Ebene.

Skizze eines sphärischen Pendels

Berechne die Bewegungsgleichung eines sphärischen Pendels, mithilfe der Lagrangen-Bewegungsgleichung.

Aufstellen der Lagrangen-Bewegungsgleichungen

Das System hat eine Zwangsbedingung:

$|\overrightarrow{r}|-l=0$

Wir finden daher $3-1=2$ generalisierte Koordinaten.

Da sich das Teilchen auf einer Kugeloberfläche mit dem festen Abstand $l$ vom Nullpunkt.

Daher wählt man als generalisierte Koordinaten die beiden Winkel $\phi$ und $\vartheta$, und schreibt $\overrightarrow{r}$ in Kugelkoordinaten:

$\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}|\overrightarrow{r}|\sin (\vartheta )\cos (\phi )\\ |\overrightarrow{r}|\sin (\vartheta )\sin (\phi )\\ |\overrightarrow{r}|\cos (\vartheta )\end{array}\right)\stackrel{\text{vgl. Zwangsbedingung}}{=}l\cdot {\hat{e}}_r(\vartheta ,\phi )$

Nun stellt man die kinetische Energie als Funktion von $\vartheta$, $\dot{\vartheta }$ , $\phi$ und $\dot{\phi }$ dar.

$T(\dot{\vartheta },\vartheta ,\dot{\phi },\phi )=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}^2=\frac{1}{2}m{(l\cdot \frac{d}{dt}{\hat{e}}_r)}^2=$

Benutzer:Siliurp/ Vorlagen:textbox

$=\frac{1}{2}m\cdot l^2{({\hat{e}}_{\phi }\cdot \dot{\phi }+{\hat{e}}_{\vartheta }\cdot \dot{\vartheta })}^2$

$=\frac{1}{2}m\cdot l^2({\dot{\phi }}^2({\sin }^2(\vartheta )\underset{=1}{\underbrace{({\sin }^2(\phi )+{\cos }^2(\phi ))}})+{\dot{\vartheta }}^2\underset{=1}{\underbrace{({\sin }^2(\vartheta )\underset{=1}{\underbrace{({\sin }^2(\phi )+{\cos }^2(\phi ))}}+{\cos }^2(\vartheta )}})+2\underset{=0,da{\hat{e}}_{\phi }\perp {\hat{e}}_{\vartheta }}{\underbrace{\cdot {\hat{e}}_{\phi }\dot{\phi }\cdot {\hat{e}}_{\vartheta }\dot{\vartheta }}})$

$=\frac{1}{2}m\cdot l^2({\dot{\phi }}^2{\sin }^2(\vartheta )+{\dot{\vartheta }}^2)=T(\dot{\phi },\dot{\vartheta },\vartheta )$

Die potentielle Energie wird wie folgt in generalisierten Koordinaten ausgedrückt:

$V(\overrightarrow{r})=-mg\cdot {\overrightarrow{r}}_z=-mg\cdot l\cdot \cos (\vartheta )=V(\vartheta )$

Die Lagrange Funktion lautet also:

$L=\frac{1}{2}m\cdot l^2({\dot{\phi }}^2{\sin }^2(\vartheta )+{\dot{\vartheta }}^2)+mg\cdot l\cdot \cos (\vartheta )$

Berechnen der generalisierten Bewegungsgleichnungen

Berechnet man nun also die Lagrangefunktion, so ergeben sich daraus die generalisierten Bewegungsgleichungen:

$0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}-\frac{\partial L}{\partial \phi }=\frac{d}{dt}m\cdot l^2{\sin }^2(\vartheta )\dot{\phi }$

$⟹m\cdot l^2{\sin }^2(\vartheta )\dot{\phi }=const.$ (1) - z-Komponente des Drehimpulses $=m{(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v})}_z$, die Winkelgeschwindigkeit $\vartheta$ bleibt konstant. Wird $\vartheta$ kleiner, so muss $\phi$ größer werden, um den Term konstant zu halten. Da der Ausdruck konstant ist, kann das Pendel, in diesem reibungsfreien Fall niemals den z-Nullpunkt durchlaufen - der Drehimpuls bleibt also erhalten.

$0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta }}-\frac{\partial L}{\partial \vartheta }=m{l}^2\ddot{\vartheta }-(m{l}^2{\dot{\phi }}^2\sin (\vartheta )\cos (\vartheta )-mgl\cdot \sin (\vartheta ))$

Wir formen die z-Komponente des Drehimpulses nach $\dot{\phi }$ so um, das man sie in die $\vartheta$-Bewegungsgleichung einsetzen kann, sodass diese keine $\dot{\phi }$-Abhängigkeit mehr hat.

$\frac{c}{m\cdot l^2{\sin }^2(\vartheta )}=\dot{\phi }$

$m{l}^2\ddot{\vartheta }=m{l}^2\sin (\vartheta )\cos (\vartheta )\cdot \frac{c^2}{m^2\cdot l^4{\sin }^4(\vartheta )}-mgl\cdot \sin (\vartheta )$

$\Rightarrow \ddot{\vartheta }=\sin (\vartheta )\cos (\vartheta )\cdot \frac{c^2}{m^2\cdot l^4{\sin }^4(\vartheta )}-\frac{g}{l}\cdot \sin (\vartheta )$

Diese Differentialgleichung 2ter Ordnung könnte nun z. B. numerisch per Computer gelöst werden.

Bestimmt man so $\vartheta (t)$, so kann damit durch einsetzen in Gleichung (1) auch $\dot{\phi }(t)$ bestimmt werden, sodass so der genaue Ortsvektor des Teilchens zu jedem Zeitpunkt $t$ bestimmt werden kann.