Aufgabensammlung Physik: Lagrange-Bewegungsgleichung der Zwangsbewegung eines Masseteilchens

Ein Körper der Masse m fällt entlang einer Kurve mit der Gleichung z = f(x) im Schwerefeld der Erde. Man bestimme (ohne Beachtung der Reibung) die Bewegungsgleichung des Körpers.

Es gilt: $z=f(x)$

und wegen $\dot{z}=\frac{d}{dt}z=\frac{dz}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$

$\dot{z}=f^{\prime }(x)\cdot \dot{x}$

Aufstellen der Lagrangefunktion

1. Kinetische Energie:

$T=\frac{1}{2}m\cdot ((\dot{x}{)}^2+(\dot{z}{)}^2)$

$T=\frac{1}{2}m\cdot ((\dot{x}{)}^2+(f^{\prime }(x){)}^2\cdot (\dot{x}{)}^2)$

$T=\frac{1}{2}m\cdot (\dot{x}{)}^2[1+(f^{\prime }(x){)}^2]$

2. Lageenergie:

Bezeichnet g die Fallbeschleunigung, dann gilt:

$U=m\cdot g\cdot z$

$U=m\cdot g\cdot f(x)$

3. Lagrangefunktion:

$L=T-U$

$L=\frac{1}{2}m\cdot (\dot{x}{)}^2[1+(f^{\prime }(x){)}^2]-m\cdot g\cdot f(x)(1)$

Bewegungsgleichung ermitteln

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}$

1. $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ ermitteln:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}(\frac{1}{2}m\cdot (\dot{x}{)}^2[1+(f^{\prime }(x){)}^2])(Einsetzenaus(1)und\frac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0)$

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{d}{dt}(m\cdot (\dot{x})\cdot [1+(f^{\prime }(x){)}^2])$

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\cdot (\ddot{x})\cdot [1+(f^{\prime }(x){)}^2]+2\cdot m\cdot (\dot{x}{)}^2\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)(Produkt-,Kettenregelund\frac{d}{dt}(f^{\prime }(x){)}^2=2\cdot f^{\prime }(x)\cdot \frac{d{f}^{\prime }(x)}{dt}=2\cdot f^{\prime }(x)\cdot \frac{d{f}^{\prime }(x)}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=2\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)\cdot \dot{x})$

2. $\frac{\partial L}{\partial x}$ermitteln:

$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{1}{2}m\cdot (\dot{x}{)}^2[1+(f^{\prime }(x){)}^2]-m\cdot g\cdot f(x))$

$\frac{\partial L}{\partial x}=m\cdot ({\dot{x}}^2)\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)-m\cdot g\cdot f^{\prime }(x)$

3. Bewegungsgleichung mit Hilfe der Teilergebnisse aufstellen:

$m\cdot (\ddot{x})\cdot [1+(f^{\prime }(x){)}^2]+2\cdot m\cdot (\dot{x}{)}^2\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)=m\cdot ({\dot{x}}^2)\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)-m\cdot g\cdot f^{\prime }(x)$

$(\ddot{x})\cdot [1+(f^{\prime }(x){)}^2]+(\dot{x}{)}^2\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)+g\cdot f^{\prime }(x)=0(DivisiondurchmundZusammenfassengleichartigerTerme)$

$\ddot{x}+\frac{(\dot{x}{)}^2\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)}{1+(f^{\prime }(x){)}^2}+\frac{g\cdot f^{\prime }(x)}{1+(f^{\prime }(x){)}^2}=0(Divisiondurch1+(f^{\prime }(x){)}^2)$

$\ddot{x}+\frac{(\dot{x}{)}^2}{2}\cdot \frac{d}{dx}(ln(1+f^{\prime }(x{)}^2)+\frac{g\cdot f^{\prime }(x)}{1+f^{\prime }(x{)}^2}=0$