Aufgabensammlung Physik: Lagrange-Bewegungsgleichung der Zwangsbewegung eines Masseteilchens

${\displaystyle }$

Ein Körper der Masse m fällt entlang einer Kurve mit der Gleichung z = f(x) im Schwerefeld der Erde. Man bestimme (ohne Beachtung der Reibung) die Bewegungsgleichung des Körpers.

Es gilt: $z=f(x)$

und wegen $\dot{z}=\frac{d}{dt}z=\frac{dz}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$

$\dot{z}=f^{\prime }(x)\cdot \dot{x}$

Aufstellen der Lagrangefunktion

1. Kinetische Energie:

$T=\frac{1}{2}m\cdot ((\dot{x}{)}^2+(\dot{z}{)}^2)$

$T=\frac{1}{2}m\cdot ((\dot{x}{)}^2+(f^{\prime }(x){)}^2\cdot (\dot{x}{)}^2)$

$T=\frac{1}{2}m\cdot (\dot{x}{)}^2[1+(f^{\prime }(x){)}^2]$

2. Lageenergie:

Bezeichnet g die Fallbeschleunigung, dann gilt:

$U=m\cdot g\cdot z$

$U=m\cdot g\cdot f(x)$

3. Lagrangefunktion:

$L=T-U$

$L=\frac{1}{2}m\cdot (\dot{x}{)}^2[1+(f^{\prime }(x){)}^2]-m\cdot g\cdot f(x)(1)$

Bewegungsgleichung ermitteln

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}$

1. $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ ermitteln:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial \dot{x}}(\frac{1}{2}m\cdot (\dot{x}{)}^2[1+(f^{\prime }(x){)}^2])(Einsetzenaus(1)und\frac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0)$

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{d}{dt}(m\cdot (\dot{x})\cdot [1+(f^{\prime }(x){)}^2])$

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\cdot (\ddot{x})\cdot [1+(f^{\prime }(x){)}^2]+2\cdot m\cdot (\dot{x}{)}^2\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)$

(Produkt-,Kettenregel und $\frac{d}{dt}(f^{\prime }(x){)}^2=2\cdot f^{\prime }(x)\cdot \frac{d{f}^{\prime }(x)}{dt}=2\cdot f^{\prime }(x)\cdot \frac{d{f}^{\prime }(x)}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=2\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)\cdot (\dot{x})$

2. $\frac{\partial L}{\partial x}$ermitteln:

$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{1}{2}m\cdot (\dot{x}{)}^2[1+(f^{\prime }(x){)}^2]-m\cdot g\cdot f(x))$

$\frac{\partial L}{\partial x}=m\cdot ({\dot{x}}^2)\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)-m\cdot g\cdot f^{\prime }(x)$

3. Bewegungsgleichung mit Hilfe der Teilergebnisse aufstellen:

$m\cdot (\ddot{x})\cdot [1+(f^{\prime }(x){)}^2]+2\cdot m\cdot (\dot{x}{)}^2\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)=m\cdot ({\dot{x}}^2)\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)-m\cdot g\cdot f^{\prime }(x)$

$(\ddot{x})\cdot [1+(f^{\prime }(x){)}^2]+(\dot{x}{)}^2\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)+g\cdot f^{\prime }(x)=0(DivisiondurchmundZusammenfassengleichartigerTerme)$

$\ddot{x}+\frac{(\dot{x}{)}^2\cdot f^{\prime }(x)\cdot f^{″}(x)}{1+(f^{\prime }(x){)}^2}+\frac{g\cdot f^{\prime }(x)}{1+(f^{\prime }(x){)}^2}=0(Divisiondurch1+(f^{\prime }(x){)}^2)$

$\ddot{x}+\frac{(\dot{x}{)}^2}{2}\cdot \frac{d}{dx}(ln(1+f^{\prime }(x{)}^2)+\frac{g\cdot f^{\prime }(x)}{1+f^{\prime }(x{)}^2}=0$

Wir untersuchen jetzt den Fall, dass die Fallkurve in Parameterform gegeben ist, z.B. als Parameterdarstellung einer Brachistochrone :

Parameterdarstellung einer Brachistochrone:

$\xi =\xi (\psi (t))=R\cdot (\psi (t)-sin(\psi (t))$

$\eta =\eta (\psi (t))=R\cdot (cos(\psi (t)-1)$

Es gilt allgemein, falls wie üblich $\dot{}$ die Ableitung nach der Zeit und ' die Ableitung nach $\psi$ bezeichnen:

$(2)\dot{\xi }=\frac{d}{dt}\xi (\psi (t))=\frac{d\xi }{d\psi }\cdot \frac{d\psi }{dt}={\xi }^{\prime }\cdot \dot{\psi }$

$(3)\dot{\eta }=\frac{d}{dt}\eta (\psi (t))=\frac{d\eta }{d\psi }\cdot \frac{d\psi }{dt}={\eta }^{\prime }\cdot \dot{\psi }$

Aufstellen der Lagrangefunktion

1. Kinetische Energie:

$T=\frac{m}{2}\cdot (\dot{\xi }{)}^2)+(\dot{\eta }{)}^2$

$T=\frac{m}{2}\cdot (({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\cdot (\dot{\psi }{)}^2$ Einsetzen aus (2) und (3)

2. Lageenergie:

Bezeichnet g wieder die Fallbeschleunigung, dann gilt:

$U=m\cdot g\cdot \eta (\psi (t))$

3. Lagrangefunktion:

$L=T-U$

$L=\frac{m}{2}\cdot (({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\cdot (\dot{\psi }{)}^2-m\cdot g\cdot \eta (\psi (t))$

4. Bewegungsgleichung herleiten:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi }}=\frac{\partial L}{\partial \psi }$

4.1 Linke Seite der Bewegungsgleichung:

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi }}=\frac{\partial }{\partial \dot{\psi }}(\frac{m}{2}\cdot (({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\cdot (\dot{\psi }{)}^2-m\cdot g\cdot \eta (\psi (t)))$

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi }}=\frac{m}{2}\cdot (({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\frac{\partial }{\partial \dot{\psi }}\cdot (\dot{\psi }{)}^2$

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi }}=m\cdot (({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\cdot \dot{\psi }$

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi }}=m\cdot [(({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\cdot \frac{d}{dt}\dot{\psi }+\dot{\psi }\cdot \frac{d}{dt}(({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)]$ (Produktregel)

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi }}=m\cdot [(({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\cdot \ddot{\psi }+\dot{\psi }\cdot (2\cdot ({\xi }^{\prime })\cdot ({\xi }^{″})\cdot \dot{(\psi )}+2\cdot ({\eta }^{\prime })\cdot ({\eta }^{″})\cdot \dot{\psi })]$

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi }}=m\cdot [(({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\cdot \ddot{\psi }+2\cdot (({\xi }^{\prime })\cdot ({\xi }^{″})+({\eta }^{\prime })\cdot ({\eta }^{″}))\cdot (\dot{\psi }{)}^2]$

4.2 Rechte Seite der Bewegungsgleichung:

$\frac{\partial L}{\partial \psi }=\frac{\partial }{\partial \psi }(\frac{m}{2}\cdot (({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\cdot (\dot{\psi }{)}^2-m\cdot g\cdot \eta (\psi (t)))$

$\frac{\partial L}{\partial \psi }=\frac{m}{2}\cdot (\dot{\psi }{)}^2\cdot (2\cdot ({\xi }^{\prime })\cdot ({\xi }^{″})+2\cdot ({\eta }^{\prime })\cdot ({\eta }^{″}))-m\cdot g\cdot ({\eta }^{\prime })$

$\frac{\partial L}{\partial \psi }=m\cdot [(\dot{\psi }{)}^2\cdot (({\xi }^{\prime })\cdot ({\xi }^{″})+({\eta }^{\prime })\cdot ({\eta }^{″}))-g\cdot ({\eta }^{\prime })]$

4.3 Bewegungsgleichung aus $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi }}=\frac{\partial L}{\partial \psi }$ herleiten:

$m\cdot [(({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\cdot \ddot{\psi }+2\cdot (\dot{\psi }{)}^2\cdot (({\xi }^{\prime })\cdot ({\xi }^{″})+({\eta }^{\prime })\cdot ({\eta }^{″}))]=m\cdot [(\dot{\psi }{)}^2\cdot (({\xi }^{\prime })\cdot ({\xi }^{″})+({\eta }^{\prime })\cdot ({\eta }^{″}))-g\cdot ({\eta }^{\prime })]|:m$

$(({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\cdot \ddot{\psi }+2\cdot (({\xi }^{\prime })\cdot ({\xi }^{″})+({\eta }^{\prime })\cdot ({\eta }^{″}))\cdot (\dot{\psi }{)}^2=(({\xi }^{\prime })\cdot ({\xi }^{″})+({\eta }^{\prime })\cdot ({\eta }^{″}))\cdot (\dot{\psi }{)}^2-g\cdot ({\eta }^{\prime })|-(({\xi }^{\prime })\cdot ({\xi }^{″})+({\eta }^{\prime })\cdot ({\eta }^{″}))\cdot (\dot{\psi }{)}^2+g\cdot ({\eta }^{\prime })$

Ergebnis: Die Differentialgleichung für den Parameter $\psi =\psi (t)$ lautet:

$(({\xi }^{\prime }{)}^2+({\eta }^{\prime }{)}^2)\cdot \ddot{\psi }+(({\xi }^{\prime })\cdot ({\xi }^{″})+({\eta }^{\prime })\cdot ({\eta }^{″}))\cdot (\dot{\psi }{)}^2+g\cdot ({\eta }^{\prime })=0$