Aufgabensammlung Physik: Herleitung der Dispersionsrelation

Aufgabe

Sie wissen, dass die ebene Welle $\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_0{e}^{\mathrm{i}(\omega t-\overrightarrow{k}\overrightarrow{x})}$ die Wellengleichung $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}=\frac{\epsilon }{c^2}{\partial }_t^2\overrightarrow{E}$ erfüllt. Leiten sie daraus einen Zusammenhang zwischen $\omega$ und ${\overrightarrow{k}}^2$, also die Dispersionsrelation für Licht, her.

Lösung

Es ist

$\begin{array}{cc}{\partial }_x\overrightarrow{E}& =\partial x\left({\overrightarrow{E}}_0{e}^{\mathrm{i}(\omega t-\overrightarrow{k}\overrightarrow{x})}\right)\\ & =-\mathrm{i}{\overrightarrow{E}}_0{e}^{\mathrm{i}(\omega t-\overrightarrow{k}\overrightarrow{x})}\cdot {\partial }_x(\overrightarrow{k}\overrightarrow{x})\\ & =-\mathrm{i}{k}_x{\overrightarrow{E}}_0{e}^{\mathrm{i}(\omega t-\overrightarrow{k}\overrightarrow{x})}\\ & =-\mathrm{i}{k}_x\overrightarrow{E}\end{array}$

und damit

$\begin{array}{cc}{\partial }_x^2\overrightarrow{E}& =\partial x(-\mathrm{i}{k}_x\overrightarrow{E})\\ & =-\mathrm{i}{k}_x{\partial }_x\overrightarrow{E}\\ & \downarrow {\partial }_x\overrightarrow{E}\text{ wie oben berechnen}\\ & =-k_x^2\overrightarrow{E}\end{array}$

${\partial }_y^2\overrightarrow{E}$ und ${\partial }_z^2\overrightarrow{E}$ können analog berechnet werden. Damit ist

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}& =({\partial }_x^2+{\partial }_y^2+{\partial }_z^2)\overrightarrow{E}\\ & =(-k_x^2-k_y^2-k_z^2)\overrightarrow{E}\\ & =-{\overrightarrow{k}}^2\overrightarrow{E}\end{array}$

Für ${\partial }_t\overrightarrow{E}$ ergibt sich

$\begin{array}{cc}{\partial }_t\overrightarrow{E}& ={\partial }_t\left({\overrightarrow{E}}_0{e}^{\mathrm{i}(\omega t-\overrightarrow{k}\overrightarrow{x})}\right)\\ & =\mathrm{i}\omega {\overrightarrow{E}}_0{e}^{\mathrm{i}(\omega t-\overrightarrow{k}\overrightarrow{x})}\\ & =\mathrm{i}\omega \overrightarrow{E}\end{array}$

und damit ${\partial }_t^2\overrightarrow{E}=-{\omega }^2\overrightarrow{E}$. Nun ist $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}=\frac{\epsilon }{c^2}{\partial }_t^2\overrightarrow{E}$ und somit nach dem Einsetzen bisheriger Ergebnisse

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}& \mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}& =\frac{\epsilon }{c^2}{\partial }_t^2\overrightarrow{E}\\ \Rightarrow & -{\overrightarrow{k}}^2\overrightarrow{E}& =\frac{\epsilon }{c^2}(-{\omega }^2\overrightarrow{E})\\ \Rightarrow & {\overrightarrow{k}}^2\overrightarrow{E}& =\frac{\epsilon {\omega }^2}{c^2}\overrightarrow{E}\\ \Rightarrow & {\overrightarrow{k}}^2& =\frac{\epsilon {\omega }^2}{c^2}\end{array}\end{array}$

Mit $n=\sqrt{\epsilon }$ für den Brechungsindex $n$ ergibt sich damit

${\overrightarrow{k}}^2=\frac{n^2{\omega }^2}{c^2}$