Aufgabensammlung Physik: Das Fermatsche Prinzip

In diesem Kapitel wird das Fermatsche Prinzip eingeführt und mit Hilfe dieses Prinzips werden wesentliche Gesetze der Optik wie das Reflexions- und das Brechungsgesetz hergeleitet.

Das Fermatsche Gesetz

Das Fermatsche Gesetz lautet:

„Lichtstrahlen breiten sich immer entlang derjenigen Pfade aus, auf denen die Zeit, die ein Punkt auf der elektromagnetischen Welle zum Durchlaufen des Pfades braucht, ein Extremum ist.“

Formulierung mit Hilfe des optischen Wegs

Der optische Weg eines Pfads der Länge $s$ in einem homogenen Medium des Brechungsindexes $n$ ist das Produkt $L=n\cdot s$. Betrachtet man einen Pfad $S$ auf dem sich der Brechungsindex mit dem Ort ändert, so ist der optische Weg dieses Pfads definiert durch $L(S)=\underset{S}{\int }n(\overrightarrow{x})\mathrm{d}\overrightarrow{x}$. Beweise, dass der Fermatsche Satz auch folgendermaßen definiert werden kann:

„Lichtstrahlen breiten sich entlang derjenigen Pfade $S$ aus, auf denen der optische Weg $L(S)=\underset{S}{\int }n(\overrightarrow{x})\mathrm{d}\overrightarrow{x}$ extremal ist.“

Beweis

Sei ein beliebiger Pfad $S$ gegeben. Die Zeit $T(S)$, die ein Punkt der elektromagnetischen Welle benötigt, um diesen Pfad zu durchlaufen ist:

$T(S)=\underset{S}{\int }\mathrm{d}t=\underset{S}{\int }\frac{1}{v_{\mathrm{P}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}}(\overrightarrow{x})}\mathrm{d}\overrightarrow{x}$

Dabei ist $v_{\mathrm{P}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}}(\overrightarrow{x})$ die Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle an der Stelle $\overrightarrow{x}$. Somit ist $\frac{1}{v_{\mathrm{P}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}}(\overrightarrow{x})}\mathrm{d}\overrightarrow{x}$ die infinitesimale Zeit, die ein Punkt auf der elektromagnetischen Welle braucht, um die infinitesimale Strecke $\mathrm{d}x$ zu überwinden. Nun ist $v_{\mathrm{P}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}}(\overrightarrow{x})=\frac{c}{n(\overrightarrow{x})}$, wobei $n(\overrightarrow{x})$ der Brechungsindex an der Stelle $\overrightarrow{x}$ ist. Dies ergibt:

$\begin{array}{cc}T(S)& =\underset{S}{\int }\frac{1}{v_{\mathrm{P}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}}(\overrightarrow{x})}\mathrm{d}\overrightarrow{x}\\ & =\underset{S}{\int }\frac{n(\overrightarrow{x})}{c}\mathrm{d}\overrightarrow{x}\\ & =\frac{1}{c}\underset{S}{\int }n(\overrightarrow{x})\mathrm{d}\overrightarrow{x}\\ & =\frac{1}{c}L(S)\end{array}$

Die Zeit $T(S)$ ist also direkt proportional zum optischen Weg $L(S)$. Damit ist $T(S)$ genau dann extremal, wenn $L(S)$ extremal ist. qed.

Lichtausbreitung in homogenen Medien

Beweise mit Hilfe des Fermatschen Prinzips, dass sich Lichtstrahlen in homogenen Medien mit ortsunabhängigem Brechungsindex $n$ entlang von Geraden ausbreiten.

Beweis

Seien zwei Punkte $A$ und $B$ in einem homogenen Medium mit Brechungsindex $n$ gegeben. Sei $S$ ein Pfad in diesem Medium, der die beiden Punkte miteinander verbindet. Der optische Weg entlang dieses Pfades ist

$\begin{array}{cc}L(S)& =\underset{S}{\int }n(\overrightarrow{x})\mathrm{d}\overrightarrow{x}\\ [5px]& \downarrow n(\overrightarrow{x})\text{ ist konstant }n\\ [5px]& =\underset{S}{\int }n\mathrm{d}\overrightarrow{x}\\ & =n\cdot \underset{S}{\int }\mathrm{d}\overrightarrow{x}\\ & =n\cdot s\end{array}$

Wobei $s$ die Länge des Pfads $S$ ist. Es ist also $L(s)=n\cdot s$ und damit genau dann extremal, wenn $s$ extremal ist. In unserem Fall kann $s$ nur minimal werden, da es keinen Pfad mit maximaler Verbindungsstrecke zwischen den Punkten $A$ und $B$ gibt. Die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen $A$ und $B$ ist aber gerade die Strecke $\overline{AB}$, auf der sich damit der Lichtstrahl ausbreitet. Lichtstrahlen breiten sich somit in homogenen Medien geradlinig aus.

Reflexionsgesetz

Beweise mit Hilfe des Fermatschen Prinzips das Reflexionsgesetz.

Beweis

Beweis des Reflexionsgesetzes mit Hilfe des Fermatschen Prinzips

Seien ein Punkt $A$ mit Abstand $y_1$ und ein Punkt $C$ mit Abstand $y_2$ zur Reflexionsoberfläche gegeben. Der Abstand der Lotpunkte der beiden Punkte $A$ und $C$ auf der Reflexionsfläche sei $d$. Gesucht ist nun der Punkt $B$ auf der Reflexionsfläche, an der die Reflexion stattfindet.

Schritt 1: Bestimmung des optischen Wegs

Die Lichtausbreitung zwischen $A$ und $B$ bzw. zwischen $B$ und $C$ findet nach dem obigen Abschnitt „Lichtausbreitung in homogenen Medien“ entlang der Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ statt, weil die Lichtausbreitung in einem homogenen Medium mit konstantem Brechungsindex $n$ geschieht. Der optische Weg auf diesen beiden Strecken ist $n\cdot |AB|$ bzw. $n\cdot |BC|$.

Sei $x_1$ der Abstand des Punktes $B$ zum Lotpunkt von $A$. Damit ist $|AB|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ und $|BC|=\sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2}$. Damit ist der optische Weg $L(x_1)$:

$\begin{array}{cc}L(x_1)& =n\cdot |AB|+n\cdot |BC|\\ & =n\cdot \sqrt{x_1^2+y_1^2}+n\cdot \sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2}\\ & =n\cdot (\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2})\end{array}$

Schritt 2: Beweis des Reflexionsgesetzes

Zur Bestimmung von $B$ müssen die Extrema des optischen Wegs bestimmt werden. Das notwendige Kriterium, dass $L(x_1)$ extremal ist, ist $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}_1}L(x_1)=0$, also

$\begin{array}{cc}0& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}_1}L(x_1)\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}_1}[n\cdot (\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2})]\\ & =n\cdot (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}_1}\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}_1}\sqrt{(d-x_1{)}^2+y_1^2})\\ & =n\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x_1^2+y_1^2}}\cdot 2x_1+\frac{1}{2\sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2}}\cdot 2\cdot (d-x_1)\cdot (-1))\\ & =n\cdot (\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}-\frac{d-x_1}{\sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2}})\end{array}$

Und damit

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}& 0& =n\cdot (\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}-\frac{d-x_1}{\sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2}})\\ & 0& =\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}-\frac{d-x_1}{\sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2}}\\ \Rightarrow & \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}& =\frac{d-x_1}{\sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2}}\end{array}\end{array}$

Nun ist aber nach den trigonometrischen Formeln im rechtwinkligen Dreieck $x_1=\sin (\alpha )\cdot \sqrt{x_1^2+y_1^2}$ und $d-x_1=\sin (\beta )\cdot \sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2}$. Nach dem Einsetzen in die obige Formel erhalten wir:

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}& \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}& =\frac{d-x_1}{\sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2}}\\ \Rightarrow & \frac{\sin (\alpha )\cdot \sqrt{x_1^2+y_1^2}}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}& =\frac{\sin (\beta )\cdot \sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2}}{\sqrt{(d-x_1{)}^2+y_2^2}}\\ \Rightarrow & \sin (\alpha )& =\sin (\beta )\end{array}\end{array}$

Weil nun sowohl $\alpha$ als auch $\beta$ Winkel im Intervall $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ sind und der Sinus in diesem Intervall injektiv ist, folgt $\alpha =\beta$ und damit das Reflexionsgesetz.

Brechungsgesetz

Beweise mit Hilfe des Fermatschen Prinzips das Snelliussche Brechungsgesetz.

Beweis

Beweis des Brechungsgesetzes mit Hilfe des Fermatschen Prinzips

Betrachte die rechte Skizze. Es seien zwei Punkte $P_0$ und $P_2$ gegeben, die in zwei verschiedenen Medien mit den Brechungsindizes $n$ bzw. $n^{\prime }$ liegen. Der Abstand von $P_0$ zur Übergangsfläche zwischen den beiden Medien sei $a$ und der Abstand von $P_2$ zur Übergangsfläche sei $b$. Der Abstand der Lotpunkte von $P_0$ und $P_2$ auf die Brechungsoberfläche sei $d$.

Schritt 1: Berechnung des optischen Wegs

Sei $P_1$ der Punkt an dem der Lichtstrahl von einem Medium auf das andere Medium geht. Nach dem obigen Abschnitt „Lichtausbreitung in homogenen Medien“ breitet sich der Lichtstrahl entlang der Strecken $\overline{P_0{P}_1}$ und dann entlang der Strecke $\overline{P_1{P}_2}$ aus. Der optische Weg $L$ ist dann

$L=n\cdot |P_0{P}_1|+n^{\prime }\cdot |P_1{P}_2|$

Es ist $|P_0{P}_1|=\frac{a}{\cos \alpha }$ und $|P_1{P}_2|=\frac{b}{\cos \beta }$. Damit ist

$L=n\cdot \frac{a}{\cos \alpha }+n^{\prime }\cdot \frac{b}{\cos \beta }$

Schritt 2: Beweis des Brechungsgesetzes

Die Winkel $\alpha$ und $\beta$ können aber nicht unabhängig voneinander gewählt werden. Sei $x$ der Abstand von $P_1$ zum Lotpunkt von $P_0$. Wegen $x=a\cdot \tan (\alpha )$ und $d-x=b\cdot \tan (\beta )$, müssen $\alpha$ und $\beta$ die Nebenbedingung $a\cdot \tan (\alpha )+b\cdot \tan (\beta )=d$ erfüllen.

Nach dem Fermatschen Prinzip breiten sich die Lichtstrahlen entlang dem Pfad aus, wo der optische Weg $L=n\cdot \frac{a}{\cos \alpha }+n^{\prime }\cdot \frac{b}{\cos \beta }$ extremal wird. Berechnen wir also die Extremstellen dieser Funktion unter der Nebenbedingung $a\cdot \tan (\alpha )+b\cdot \tan (\beta )=d$.

Zur Berechnung dieser Extremstellen verwenden wir die Lagrange-Multiplikatorenregel. Die Lagrange-Funktion lautet:

$\mathrm{\Lambda }=n\cdot \frac{a}{\cos \alpha }+n^{\prime }\cdot \frac{b}{\cos \beta }-\lambda \cdot (a\cdot \tan (\alpha )+b\cdot \tan (\beta )-d)$

Für die Extremstellen erhalten wir dann folgende notwendige Bedingungen:

$\begin{array}{ccc}0& ={\partial }_{\alpha }\mathrm{\Lambda }& =-\frac{n\cdot a}{{\cos }^2\alpha }\cdot \sin \alpha -\lambda a\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\\ 0& ={\partial }_{\beta }\mathrm{\Lambda }& =-\frac{n^{\prime }\cdot b}{{\cos }^2\beta }\cdot \sin \beta -\lambda b\frac{1}{{\cos }^2\beta }\\ 0& ={\partial }_{\lambda }\mathrm{\Lambda }& =a\cdot \tan (\alpha )+b\cdot \tan (\beta )-d\end{array}$

Aus der ersten Gleichung erhält man:

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}& 0& =-\frac{n\cdot a}{{\cos }^2\alpha }\cdot \sin \alpha -\lambda a\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\\ \Rightarrow & \frac{n\cdot a}{{\cos }^2\alpha }\cdot \sin \alpha & =-\lambda a\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\\ \Rightarrow & n\cdot a\cdot \sin \alpha & =-\lambda a\\ \Rightarrow & n\cdot \sin \alpha & =-\lambda \end{array}\end{array}$

und aus der zweiten Gleichung erhält man analog:

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}& 0& =-\frac{n^{\prime }\cdot b}{{\cos }^2\beta }\cdot \sin \beta -\lambda b\frac{1}{{\cos }^2\beta }\\ \Rightarrow & \frac{n^{\prime }\cdot b}{{\cos }^2\beta }\cdot \sin \beta & =-\lambda b\frac{1}{{\cos }^2\beta }\\ \Rightarrow & n^{\prime }\cdot b\cdot \sin \beta & =-\lambda b\\ \Rightarrow & n^{\prime }\cdot \sin \beta & =-\lambda \end{array}\end{array}$

Damit folgt das Brechungsgesetz

$n\cdot \sin \alpha =-\lambda =n^{\prime }\cdot \sin \beta$

Die Optimale Rettung

Skizze zur Aufgabe „Die optimale Rettung“

Stell dir eine Situation vor, in der ein Rettungsschwimmer eine Person retten muss. Der Rettungsschwimmer befindet sich am Land an der Position $P_0$ und die zu rettende Person an der Stelle $P_2$ im Wasser. Die Entfernung des Rettungsschwimmer zum Meer ist $a$ und der Abstand der zu rettenden Person vom Strand ist $b$. Außerdem ist der Abstand der beiden Personen parallel zur Grenze Meer-Strand gleich $d$. Der Rettungsschwimmer rennt am Land mit der Geschwindigkeit $v_L$ und im Wasser schwimmt er mit der Geschwindigkeit $v_W$.

Welcher Zusammenhang gilt zwischen den Winkeln $\alpha$ und $\beta$?

Lösung

Gesucht ist der Weg des Rettungsschwimmers, für den er die geringste Zeit benötigt. Dies ist analog zum Fermatschen Prinzip und die Lösung dieser Aufgabe ist analog zum Beweis des Brechungsgesetzes. Im Abschnitt zum Brechungsgesetz haben wir bewiesen:

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}& n\cdot \sin \alpha & =n^{\prime }\cdot \sin \beta \\ [5px]& & \downarrow n=\frac{c}{v}\text{ und }{n}^{\prime }=\frac{c}{v^{\prime }}\\ [5px]\Rightarrow & \frac{c}{v}\cdot \sin \alpha & =\frac{c}{v^{\prime }}\cdot \sin \beta \\ \Rightarrow & v^{\prime }\cdot \sin \alpha & =v\cdot \sin \beta \end{array}\end{array}$

Dabei ist $v$ die Phasengeschwindigkeit von Licht im Medium mit Brechungsindex $n$ und $v^{\prime }$ die Phasengeschwindigkeit im Medium mit Brechungsindex $n^{\prime }$. Also ist der Zusammenhang zwischen $\alpha$ und $\beta$ in dieser Aufgabe:

$v_W\cdot \sin \alpha =v_L\cdot \sin \beta$