Aufgabensammlung Mathematik: Zusammenhang zwischen dem abgeschlossenen Ball und dem Abschluss des offenen Balls

Aufgabensammlung: Vorlage:Symbol Zusammenhang zwischen dem abgeschlossenen Ball und dem Abschluss des offenen Balls

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $x\in X$ sowie $r\in {ℝ}^{+}$ beliebig. Sei $\overline{K_r(x)}$ der Abschluss des offenen Balls $K_r(x):=\{y\in X|d(x,y)<r\}$. Sei außerdem ${\bar{K}}_r(x):=\{y\in X|d(x,y)\le r\}$ der abgeschlossene Ball um $x$ mit Radius $r$. Beweise

1. $\overline{K_r(x)}\subseteq {\bar{K}}_r(x)$
2. Ist $X$ ein normierter Raum mit $\Vert \cdot \Vert$ als Norm, so ist $\overline{K_r(x)}={\bar{K}}_r(x)$.
3. Es gibt metrische Räume $X$ mit einem Punkt $x\in X$ und einem Radius $r\in {ℝ}^{+}$, so dass $\overline{K_r(x)}\ne {\bar{K}}_r(x)$.