Aufgabensammlung Mathematik: Fixpunkt für eine stetige Funktion auf kompakten Definitionsbereich

Aufgabensammlung: Vorlage:Symbol Fixpunkt für eine stetige Funktion auf kompakten Definitionsbereich

Sei $X$ ein kompakter und metrischer Raum, wobei $d$ die auf $X$ definierte Metrik ist. Sei $T:X\to X$ eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft

$d(T(x),T(y))<d(x,y)$ für alle $x,y\in X$ mit $x\ne y$

Beweise, dass $T$ genau einen Fixpunkt besitzt.