Aufgabensammlung Mathematik: Die Distanzfunktion zwischen einer Menge und einem Punkt

Aufgabensammlung: Vorlage:Symbol Die Distanzfunktion zwischen einer Menge und einem Punkt

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Die Distanz zwischen einem Punkt $x\in X$ und einer Menge $A\subseteq X$ sei definiert durch $\mathrm{dist}(x,A):=\underset{a\in A}{inf}\{d(x,a)\}$. Beweise:

1. Die Funktion ${\mathrm{dist}}_A:X\to ℝ:x\mapsto \mathrm{dist}(x,A)$ ist Lipschitz-stetig.
2. Ist $A$ abgeschlossen, dann gilt $x\in A\iff \mathrm{dist}(x,A)=0$