Aufgabensammlung Mathematik: Der Raum beschränkter Funktionen

Aufgabensammlung: Vorlage:Symbol Der Raum beschränkter Funktionen

Seien $(D,d_D)$ und $(Z,d_Z)$ beliebige metrische Räume, wobei $Z$ ein vollständiger Raum ist. Sei $B(D,Z)$ die Menge aller beschränkter Funktionen von $D$ nach $Z$. Dabei ist eine Funktion $f:D\to Z$ genau dann beschränkt, wenn das Bild $f(D)$ beschränkt ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x,y\in D}\{d_Z(f(x),f(y))\}<\mathrm{\infty }$ ist. Es ist also

$B(D,Z):=\{f:D\to Z:\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x,y\in D}\{d_Z(f(x),f(y))\}<\mathrm{\infty }\}$

In diesem Projekt werden wir beweisen, dass $B(D,Z)$ unter der Metrik $d_B(f,g):=\underset{x\in D}{\sup }\{d_Z(f(x),g(x))\}$ ein vollständiger Raum ist.

B(D,Z) ist ein metrischer Raum

Zeige, dass die Abbildung $d_B:B(D,Z)\times B(D,Z)\to {ℝ}_0^{+}:(f,g)\mapsto \underset{x\in D}{\sup }\{d_Z(f(x),g(x))\}$ eine Metrik ist, dass also $B(D,Z)$ ausgestattet mit $d_B$ ein metrischer Raum ist.

B(D,Z) ist vollständig

Zeige, dass $B(D,Z)$ unter der Metrik $d_B$ vollständig ist.