Aufgabensammlung Mathematik: Beweise für diverse Ungleichungen

Beweise für diverse Ungleichungen

Auf dieser Seite findest du Aufgaben zum Beweis von Ungleichungen.

Aufgabe 1

Zeige in einem ersten Schritt, dass für alle $a,b\in ℝ$ gilt:

$ab\le \frac{1}{2}(a^2+b^2).$

Diese Ungleichung wird gelegentlich auch als "binomische Ungleichung" bezeichnet.

Folgere mit ihrer Hilfe dann nachstehenden Sachverhalt:

$(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz,$ wobei $x,y,z\in {ℝ}_{+}.$

Lösungshinweis

Zum ersten Aufgabenteil: Du weißt, dass das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Starte also mit ${(a-b)}^2\ge 0.$

Zum zweiten Aufgabenteil: Wende die binomische Ungleichung an mit $\sqrt{x}$ anstelle von $a$ und $\sqrt{y}$ anstelle von $b.$ Was folgt für $x+y$? Analog für $y+z$ und $z+x.$

Beweis

Es ist ${(a-b)}^2\ge 0bzw.a^2-2ab+b^2\ge 0$

Weiter gilt $a^2-2ab+b^2\ge 0\iff a^2+b^2\ge 2ab\iff \frac{1}{2}(a^2+b^2)\ge ab.$

Schon bist du mit dem ersten Aufgabenteil durch.

Dem Hinweis folgend, halten wir fest: $\sqrt{x}\sqrt{y}\le \frac{1}{2}(x+y)bzw.2\sqrt{x}\sqrt{y}\le x+y.$

Analog folgen die Beziehungen $2\sqrt{y}\sqrt{z}\le y+zund2\sqrt{z}\sqrt{x}\le z+x.$

Somit gilt letztendlich $(x+y)(y+z)(z+x)\ge 2\sqrt{x}\sqrt{y}\cdot 2\sqrt{y}\sqrt{z}\cdot 2\sqrt{z}\sqrt{x}=8xyz.$

Aufgabe 2

Zeige in einem ersten Schritt, dass für alle $x,y\in {ℝ}_{+}$gilt:

$\frac{x^2}{x+y}\ge \frac{3x-y}{4}.$

Folgere mit Hilfe dieser Ungleichung dann die nachstehende:

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge \frac{1}{2}(a+b+c),$ wobei $a,b,c\in {ℝ}_{+}.$

Lösungshinweis

Zum ersten Abschnitt: Verwende $x\le y\iff y-x\ge 0$.

Zum zweiten Abschnitt: Wende die Erkenntnis aus dem ersten Abschnitt auf jeden der Summanden $\frac{a^2}{a+b},\frac{b^2}{b+c},\frac{c^2}{c+a}$ an.

Beweis

$\frac{x^2}{x+y}\ge \frac{3x-y}{4}\iff \frac{x^2}{x+y}-\frac{3x-y}{4}\ge 0.$

Mit $\frac{x^2}{x+y}-\frac{3x-y}{4}=\frac{4x^2-(3x-y)(x+y)}{4(x+y)}=\frac{{(x-y)}^2}{4(x+y)}\ge 0$ (Zähler und Nenner sind beide positiv!) folgt die Behauptung.

Dem Lösungshinweis folgend, gelangst du schnell zur Lösung des zweiten Abschnitts:

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge \frac{3a-b}{4}+\frac{3b-c}{4}+\frac{3c-a}{4}=\frac{2a+2b+2c}{4}=\frac{1}{2}(a+b+c).$

Aufgabe 3

a) Zeige, dass für alle $x,y\in {ℝ}_{\ge 0}$ gilt:

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$

Da der Quotient $(a+b)/2$ als "arithmetisches Mittel" bezeichnet wird und der Wurzelterm $\sqrt{ab}$ als "geometrisches Mittel", heißt diese Beziehung die "Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel". Diese gibt es auch in allgemeinerer Form; hier begnügen wir uns mit der Version für zwei Zahlen.

b) Zeige, dass für alle $x,y\in {ℝ}_{+}$ gilt:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2.$

Die Summe aus einem Quotienten und seinem Kehrwert ist also größer/gleich $2$ (insofern hätte als Bedingung an $x$ und $y$ auch gelten können: $x,y\in {ℝ}_{-}).$ Mit $y=1$ folgt, dass die Summe aus einer beliebigen positiven Zahl und ihrem Inversen größer/gleich $2$ ist.

c) Zeige, dass für alle $a\in {ℝ}_{\ge 1},x\in {ℝ}_{>0}$ gilt:

$\frac{a^x+a^{1/x}}{2}\ge a.$

Lösungshinweis

Zu a): Nutze wieder die Tatsache, dass das Quadrat einer reellen Zahl nicht-negativ ist; steige ein mit ${(\sqrt{x}-\sqrt{y})}^2\ge 0.$

Zu b): Verwende a)

Zu c): Verwende zuerst a) und anschließend b)

Beweis

a) ${(\sqrt{x}-\sqrt{y})}^2\ge 0$, also $x-2\sqrt{xy}+y\ge 0.$

Dies ist äquivalent zu $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ sowie $\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}.$

b) Setze die nicht-negativen Zahlen $\frac{x}{y}$ und $\frac{y}{x}$ in die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ein: $\frac{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}{2}\ge \sqrt{\frac{x}{y}\cdot \frac{y}{x}}=1bzw.\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2.$

c) $\frac{a^x+a^{1/x}}{2}\ge \sqrt{a^x{a}^{1/x}}=\sqrt{a^{x+1/x}}\ge \sqrt{a^2}=a.$