Aufgabensammlung Mathematik: Anfangswertproblem x'(t)=(t-x+3)² mit x(0)=0

DGL besitzt eindeutig definierte Lösung

Für welche Funktion $x(t)$ gilt $x^{\prime }(t)=(t-x+3{)}^2$ mit $x(0)=0$.

Lösung

Wir substituieren $y(t)=t-x(t)+3$ und erhalten

$y^{\prime }(t)=1-x^{\prime }(t)=1-(t-x(t)+3{)}^2=1-y(t{)}^2$

mit dem neuen Anfangswert $y(0)=0-x(0)+3=3$. Mit Hilfe der Methode Trennung der Veränderlichen erhalten wir

$\begin{array}{cc}{\int }_{y(0)}^{y(t)}\frac{1}{1-{\tilde{y}}^2}\mathrm{d}\tilde{y}& ={\int }_0^t\mathrm{d}\tilde{t}\\ {[\frac{1}{2}\ln \left(\left|\frac{\tilde{y}+1}{\tilde{y}-1}\right|\right)]}_{y(0)=3}^{y(t)}& ={\left[\tilde{t}\right]}_0^t\\ \frac{1}{2}\ln \left(\left|\frac{y(t)+1}{y(t)-1}\right|\right)-\frac{1}{2}\ln (2)& =t\\ \frac{1}{2}\ln \left(\left|\frac{y(t)+1}{y(t)-1}\right|\right)& =t+\frac{1}{2}\ln (2)\\ \ln \left(\left|\frac{y(t)+1}{y(t)-1}\right|\right)& =2t+\ln (2)\\ \frac{y(t)+1}{y(t)-1}& =e^{2t+\ln (2)}\\ \frac{y(t)+1}{y(t)-1}& =2e^{2t}\\ y(t)+1& =2e^{2t}y(t)-2e^{2t}\\ 2e^{2t}+1& =(2e^{2t}-1)\cdot y(t)\\ y(t)& =\frac{2e^{2t}+1}{2e^{2t}-1}\end{array}$

Und wegen $x(t)=-y(t)+t+3$ erhalten wir

$x(t)=\frac{1+2e^{2t}}{1-2e^{2t}}+t+3$