Analytische Geometrie/ Matrizen/ Rechnen mit Matrizen/ Determinante einer Matrix

Bei der Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix hilft folgendes Schema:

• Die ersten beiden Spalten der Matrix werden noch einmal neben die Matrix geschrieben.
• Die Einträge auf den Diagonalen von oben links nach unten rechts werden multipliziert und die Ergebnisse addiert.
  $a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}$
• Die Einträge auf den Diagonalen von unten links nach oben rechts werden multipliziert und die Ergebnisse subtrahiert.
  $-a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}$
• $\det A=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}$

Entwicklung einer Determinante

Sei $A$ eine Matrix mit n Spalten und n Zeilen und $a_{m,k}$ die Einträge von $A$ (m=Zeile, k=Spalte). Sei ferner $A_{m,k}$ die Matrix, die aus $A$entsteht, wenn man die m-te Zeile und die k-te Spalte weg lässt. Also z.B.

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right)$, $A_{1,2}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{2,1}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,3}\end{array}\right)$ und $A_{3,1}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,2}& a_{2,3}\end{array}\right)$

Dann ist die Entwicklung von $\det A$ nach der m-ten Zeile:

$\begin{array}{ccc}\det A& =& (-1{)}^{m+1}\cdot a_{m,1}\cdot \det A_{m,1}+(-1{)}^{m+2}\cdot a_{m,2}\cdot \det A_{m,2}+\dots +(-1{)}^{m+n}\cdot a_{m,n}\cdot \det A_{m,n}\\ & =& \sum _{j=1}^n(-1{)}^{m+j}\cdot a_{m,j}\cdot \det A_{m,j}\end{array}$

Die Entwicklung von $\det A$ nach der k-ten Spalte ist:

$\begin{array}{ccc}\det A& =& (-1{)}^{k+1}\cdot a_{1,k}\cdot \det A_{1,k}+(-1{)}^{k+2}\cdot a_{2,k}\cdot \det A_{2,k}+\dots +(-1{)}^{k+n}\cdot a_{n,k}\cdot \det A_{n,k}\\ & =& \sum _{j=1}^n(-1{)}^{k+j}\cdot a_{j,k}\cdot \det A_{j,k}\end{array}$

Anwendung: Kreis durch drei Punkte

Eine klassische Anwendung besteht darin, in einem Koordinatensystem einen Kreis durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte zu finden.

Gegeben seien drei Punkte $P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$ und $P_3(x_3,y_3)$ auf dem gesuchtem Kreis. Weil sie alle der Kreisgleichung ${(x-x_M)}^2+{(y-y_M)}^2=r^2$ genügen, ergibt sich:

${(x_1-x_M)}^2+{(y_1-y_M)}^2=r^2$

${(x_2-x_M)}^2+{(y_2-y_M)}^2=r^2$

${(x_3-x_M)}^2+{(y_3-y_M)}^2=r^2$

mit den Unbekannten $x_M$, $y_M$ und $r$.

Wenn man die Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}{x}^2+y^2& x& y& 1\\ x_1^2+y_1^2& x_1& y_1& 1\\ x_2^2+y_2^2& x_2& y_2& 1\\ x_3^2+y_3^2& x_3& y_3& 1\end{array}\right)$

deren Detetminante Null ist, nach der ersten Zeile entwickelt, so erhält man die Gleichung des gesuchten Kreises: Mit den Unterdeterminanten

$A=+\det \left(\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right)$

$B=-\det \left(\begin{array}{ccc}{x}_1^2+y_1^2& y_1& 1\\ x_2^2+y_2^2& y_2& 1\\ x_3^2+y_3^2& y_3& 1\end{array}\right)$

$C=+\det \left(\begin{array}{ccc}{x}_1^2+y_1^2& x_1& 1\\ x_2^2+y_2^2& x_2& 1\\ x_3^2+y_3^2& x_3& 1\end{array}\right)$

$D=-\det \left(\begin{array}{ccc}{x}_1^2+y_1^2& x_1& y_1\\ x_2^2+y_2^2& x_2& y_2\\ x_3^2+y_3^2& x_3& y_3\end{array}\right)$

Ergibt sich die Gleichung:

$A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0$

Mittels geeigneter quadratischer Ergänzung folgt die Kreisgleichung

${(x-x_M)}^2+{(y-y_M)}^2=r^2$

Mit   $x_M=\frac{-B}{2A}$,   $y_M=\frac{-C}{2A}$   und   $r=\sqrt{\frac{B^2+C^2}{4A^2}-\frac{D}{A}}$.

Liegen die Punkte auf einer Geraden, so ist $A=0$.