Analysis II: Ableitungen: Diffeomorphismen

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Bitte beachten

Allen Sätzen wird ein sinnhafter Name gegeben. Kleinere Sätze bekommen in der Literatur zwar keinen eigenen Namen, aber in diesem Buch schon. Diese Namen sind inoffiziell und werden nur innerhalb dieses Buches benutzt, um sinnvoll auf sie referenzieren zu können. Bei Sätzen mit mehr oder weniger bekannten Namen wird dieser gesondert formatiert.

• offizielle Namen: Vorlage:Blau
• inoffizielle Namen: Beispiel

Benötigte Definitionen

Die Klasse C

Mit ${𝑪}^{𝒏}\mathit{(}𝑽\mathit{)}$ bezeichnet man den Raum der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen in $V$.

Isomorphismus

Ein Isomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung. Für Isomorphismen ist die Schreibweise $V\stackrel{\sim }{\to }W$ gängig.

Satz:
Es seien $V,W$ Vektorräume.
Falls ein Isomorphismus $f:V\stackrel{\sim }{\to }W$ existiert, so stimmen die Dimensionen von $V,W$ überein, d.h. $Dim(V)=Dim(W)$.

Identische Abbildung

Sei $X$ eine Menge, dann heißt die Abbildung

$i{d}_X:X\to X,x\mapsto x$ für alle $x\in X$

die identische Abbildung auf $X$.

Komposition

Folgende Regeln gelten für die Komposition $g\circ f$ mit $f:X\to Y$ und $g:Y\to Z$ zweier Funktionen:

• Die Identische Abbildung ist das neutrale Element der Komposition:

$f\circ i{d}_X=f=i{d}_Y\circ f$.

• Ist die Komposition $f\circ g$ bijektiv, so ist $f$ injektiv und $g$ surjektiv.

Bemerkung: Es lohnt sich generell für dieses Thema sich intensiver mit dem Thema Komposition auseinanderzusetzen und ein überfliegen der wikipedia Seite ist zu empfehlen: Komposition

Inverses Element

Sei $X$ eine Menge, $*$ eine zweistellige Verknüpfung und einem neutralem Element $e$. Seien $x,y\in X$

• Wenn $x*y=e$, dann heißt $x$ rechtsinvertierbar mit dem rechtsinversen Element $y$.
• Völlig analog wird linksinvertierbar und linksinverses Element definiert.
• Wenn $x*y=y*x=e$ gilt, dann heißt $x$ invertierbar mit dem inversem Element $y$.

Definition

$X$ und $Y$ seien endlich-dimensionale normierte Vektorräume.
Definition:

Eine bijektive $C^1$-Abbildung $\varphi :U\to V$ einer offenen Menge $U\subset X$ auf eine offene Menge $V\subset Y$ heißt Diffeomorphismus, wenn die Umkehrung ${\varphi }^{-1}:V\to U$ auch eine $C^1$-Abbildung ist.

Einfach gesagt: Eine Funktion und deren Umkehrfunktion sind stetig differenzierbar.

Elementare Eigenschaften

Wir werden jetzt zeigen, dass auch die Differentiale zueinander invers sind und ein Diffeomorphismus nur existiert kann, wenn die Dimensionen der normierten Vektorräume $X,Y$ identisch sind. Für beide Sätze gelten folgende Bedingungen:

• Sei $\varphi :U\to V$ ein Diffeomorphismus und
• sei ${\varphi }^{-1}$ seine Umkehrung.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Für den Beweis benötigen wir noch die Differentiale der identischen Abbildung $i{d}_U$ und $i{d}_U$:

$i{d}_U$ ist linear, somit muss die Ableitung konstant sein (man verwechsel hier nicht die Ableitung mit dem Differential).

Man setze in die Definition der Ableitung ein:

$i{d}_U(x)-i{d}_U(p)=\sigma (x)(x-p)$

$\iff x-p=\sigma (x)(x-p)$

ab hier sieht man, dass $\sigma (x)$ ein neutrales Element der Verkettung (Komposition) sein muss und $\sigma$ muss laut Beispiel 2 konstant sein, d.h. jedem $x\in X$ wird die identische Abbildung $i{d}_X$ zugeordnet.

Völlig analog zeigt man, dass $d(i{d}_V)=i{d}_Y$ ist.

Nun zum Beweis: Man betrachte die beiden Abbildungen

$\varphi \circ {\varphi }^{-1}:V\stackrel{{\varphi }^{-1}}{\to }U\stackrel{\varphi }{\to }V:V\stackrel{id}{\to }V$ bzw. $\varphi \circ {\varphi }^{-1}=i{d}_V$ und

$\varphi -1\circ \varphi :U\stackrel{\varphi }{\to }V\stackrel{{\varphi }^{-1}}{\to }U:U\stackrel{id}{\to }U$ bzw. ${\varphi }^{-1}\circ \varphi$.

Mittels Kettenregel gelangt man zu folgenden Identitäten:

$d(\varphi \circ {\varphi }^{-1})(y)=d(i{d}_V)(y)=i{d}_Y=d\varphi ({\varphi }^{-1}(y))\circ d{\varphi }^{-1}=d\varphi (x)\circ d{\varphi }^{-1}(y)$ und

$d({\varphi }^{-1}\circ \varphi )(x)=d(i{d}_U)(x)=i{d}_X=d{\varphi }^{-1}(\varphi (x))\circ d\varphi (x)=d{\varphi }^{-1}(y)\circ d\varphi (x)$.

Jetzt zeigen wir mit den Identitäten, dass die beiden Differentiale $d\varphi (x)$ und $d{\varphi }^{-1}(y)$ bijektiv, also Isomorphismen sind:

$d{\varphi }^{-1}(y)\circ d\varphi (x)=i{d}_X$

$i{d}_X$ ist bijektiv

$\Rightarrow d{\varphi }^{-1}(y)$ ist surjektiv

$\Rightarrow d\varphi (x)$ ist injektiv

$d\varphi (x)\circ d{\varphi }^{-1}(y)=i{d}_Y$

$i{d}_Y$ ist bijektiv

$\Rightarrow d\varphi (x)$ ist surjektiv

$\Rightarrow d{\varphi }^{-1}(y)$ ist injektiv

$\Rightarrow d\varphi (x)$ und $d{\varphi }^{-1}(y)$ sind bijektiv, also Isomorphismen.

Jetzt muss man noch zeigen, dass es zueinander inverse Isomorphismen sind. Das zeigt man über das links- und rechtsinverse Element:

Notation: Wie üblich wird das inverse Element mit ${}^{-1}$ gekennzeichnet.

$d{\varphi }^{-1}(y)\circ d\varphi (x)=i{d}_X$

$\Rightarrow d{\varphi }^{-1}(y)\circ d\varphi (x)\circ (d\varphi (x){)}^{-1}=i{d}_X\circ (d\varphi (x){)}^{-1}$

$\Rightarrow d{\varphi }^{-1}(y)=(d\varphi (x){)}^{-1}$

Daraus folgt, dass $(d\varphi (x){)}^{-1}$ das rechtsinverse Element von $d{\varphi }^{-1}(y)$ ist.

$d\varphi (x)\circ d{\varphi }^{-1}(y)=i{d}_Y$

$(d\varphi (x){)}^{-1}\circ d\varphi (x)\circ d{\varphi }^{-1}(y)=(d\varphi (x){)}^{-1}\circ i{d}_Y$

$d{\varphi }^{-1}(y)=(d\varphi (x){)}^{-1}$

Daraus folgt, dass $(d{\varphi }^{-1}(y)$ das linksinverse Element von $d{\varphi }^{-1}(y)$ ist.

$\Rightarrow (d\varphi (x){)}^{-1}$ ist das eindeutig definierte inverse Element von $d{\varphi }^{-1}(y)$
$◻$

Der zweite Beweis ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache, dass die Differentiale Isomorphismen sind. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Beweis:
Da das Differential $d\varphi (x)$ ein Isomorphismus ist, folgt mit diesem oben beschrieben Satz sofort die Behauptung.
$◻$