Analysis: Umkehrfunktionen

Bei einer Funktion wird jeder reellen Zahl x aus einer Menge D_f genau eine reelle Zahl y zugeordnet. Im Folgenden wird untersucht, unter welchen Bedingungen die Umkehrung dieser Zuordnung ebenfalls eine Funktion ist und wie man gegebenenfalls ihren Funktionsterm erhält.

Umkehrbarkeit

Nehmen wir $f(x)=x^2$. Jeder Zahl x aus der Definitionsmenge D_f wird eindeutig eine Zahl y aus der Wertemenge W_f zugeordnet, z.B. $\frac{3}{2}\to \frac{9}{4}$. Geht man umgekehrt vom y-Wert 4 aus, wird man nicht zu einem eindeutig bestimmten x-Wert geführt: sowohl 2 als auch -2 kommen in Frage. Die umgekehrte Zuordnung $y\to x$ ist damit keine Funktion.

Betrachtet man hingegen $f(x)=x^3$, findet man von jedem y-Wert ausgehend immer nur einen x-Wert. Damit ist die umgekehrte Zuordnung $y\to x$ auch eine Funktion.

Definition: Eine Funktion $f:x\to y$ mit der Definitionsmenge $D_f$ und der Wertemenge $W_f$ heißt umkehrbar,
 falls es zu jedem $y\in W_f$ nur ein  $x\in D_f$ mit $f(x)=y$ gibt.

Ist eine Funktion umkehrbar, so heißt die Zuordnung $y\to x$ Umkehrfunktion und wird mit $\overline{f}$ (lies: f quer) bezeichnet.
Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar.

Graph

Die Funktion $f:x\to y$ und ihre Umkehrfunktion $\overline{f}:y\to x$ haben in einem gemeinsamen Koordinatensystem denselben Graphen. Will man für $\overline{f}$ die Darstellung $\overline{f}:x\to y$ mit $y=\overline{f}(x)$, so muss man die Variablen umbenennen: x wird zu y und y zu x ("Variablentausch").

Zu jedem Punkt $P(a|b)$ des Graphen von $f$ gehört dann ein Punkt $\overline{P}(b|a)$ des Graphen von $\overline{f}$.

Man erhält den Graphen von $\overline{f}$, indem man den Graphen von $f$ an der 1. Winkelhalbierenden spiegelt.

Bestimmen der Umkehrfunktion

An der umkehrbaren Funktion $f$ mit $f(x)=(x+1{)}^2,x\ge -1$ wird gezeigt, wie man $\overline{f}$ ermitteln kann.

• $D_{\overline{f}}$ bestimmen:

Es gilt $f(-1)=0,f(x)\to \mathrm{\infty }$ für $x\to \mathrm{\infty }$, aufgrund der strengen Monotonie von $f$ ist $D_{\overline{f}}=W_f=[0;\mathrm{\infty })$.

• Auflösen der Gleichung $y=f(x)$ nach x:

Mit $y=(x+1{)}^2$ gilt $\sqrt{y}=x+1$ oder $\sqrt{y}=-(x+1)$ und damit $x=\sqrt{y}-1(\ast )$ oder $x=-\sqrt{y}-1(\ast \ast )$.

Da $W_{\overline{f}}=D_f=[-1;\mathrm{\infty })$ ist, muss $(\ast \ast )$ ausgeschlossen werden.

• Variablentausch; $\overline{f}$ angeben:

Aus $x=\sqrt{y}-1$ erhält man nun $y=\sqrt{x}-1$.

Damit ist $\overline{f}$ mit $\overline{f}(x)=\sqrt{x}-1;x\ge 0$ die Umkehrfunktion von $f$.

Ableitung

Hat der Graph von $f$ eine Tangente im Punkt $P(x_0|y_0)$, so hat der Graph von $\overline{f}$ im Punkt $\overline{P}(y_0|x_0)$ ebenfalls eine Tangente.

Dies bedeutet: Ist $f$ an der Stellex₀ differenzierbar mit $f^{\prime }(x_0)\ne 0$, dann ist $\overline{f}$ an der Stelle $y_0=f(x_0)$ ebenfalls differenzierbar.

Aus den beiden Steigungsdreiecken der Tangenten lässt sich unmittelbar ablesen, dass $f^{\prime }(x_0)$ und ${\overline{f}}^{\prime }(y_0)$ Kehrwerte voneinander sind. Damit ist der folgende Satz anschaulich begründet.

Satz: Ist die Funktion $f$ in einem Intervall I umkehrbar und differenzierbar mit $f^{\prime }(x)\ne 0$ für $x\in I$,
dann ist die Umkehrfunktion $\overline{f}$ ebenfalls differenzierbar und es gilt:
${\overline{f}}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ mit $y=f(x)$ bzw. $x=\overline{f}(y)$.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

$f(x)=x^3$

und ihre Ableitung

$f^{\prime }(x)=3x^2$

Die Umkehrfunktion lautet

$x=\sqrt[3]{y}=\overline{f}(y)$

• Berechnen von ${\overline{f}}^{\prime }(y)$

${\overline{f}}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}=\frac{1}{3x^2}=\frac{1}{3}{x}^{-2}$

• Ersetzen von x durch $\overline{f}(y)$

${\overline{f}}^{\prime }(y)=\frac{1}{3}(\sqrt[3]{y}{)}^{-2}=\frac{1}{3}{y}^{-\frac{2}{3}}$

• Ersetzen von y durch x

${\overline{f}}^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{x^2}}$