Analysis: Stetigkeit: Zwischenwertsatz

Zwischenwertsatz: Ist $f:X\to Y$ stetig und surjektiv, wobei $(X,𝒯)$, $(Y,𝒰)$ topologische Räume sind und $(X,𝒯)$ zusammenhängend ist, so ist $(Y,𝒰)$ zusammenhängend.

Beweis: Ist $(Y,𝒰)$ nicht zusammenhängend, so gibt es disjunkte offene Mengen $A\in 𝒰$ und $B\in 𝒰$, so dass $A\cup B=Y$. Da $f$ stetig ist, sind dann aber auch $f^{-1}(A)\in 𝒯$ und $f^{-1}(B)\in 𝒯$ offen; außerdem sind sie disjunkt und es gilt $X=A\cup B$. Das heißt aber, dass $X$ nicht zusammenhängend ist, im Widerspruch zur Voraussetzung.