Analysis: Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

Es gibt mehrere Methoden eine Funktion abzuleiten. Je nachdem wie eine Funktion aufgebaut ist muss man sie nach der Produkt-, der Ketten- oder der Quotientenregel ableiten.

Konstante Funktion

$(a{)}^{\prime }=0$

Faktorregel

$(a\cdot f{)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }$

Summenregel

$(f\pm g{)}^{\prime }=f^{\prime }\pm g^{\prime }$

Potenzregel

$(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$

Produktregel

Ist die abzuleitende Funktion ein Produkt, so leitet man sie nach der Produktregel ab.
Die Produktregel für eine Funktion $f(x)=u(x)v(x)$ lautet:

$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

Will man nun also die Funktion $f(x)=2x{e}^x$ ableiten, so zerlegt man sie erstmal in zwei Teile. Wobei jeder der Faktoren ein Teil ist:

$u(x)=2x$ und $v(x)=e^x$.

Die neuen Funktionen leitet man nun ganz normal ab:

$u^{\prime }(x)=2$ und $v^{\prime }(x)=e^x$

Nun setzt man Funktionen und Ableitungen gemäß der Produktregel zusammen:

$f^{\prime }(x)=2e^x+2x{e}^x$

Durch Ausklammern erhält man nun eine brauchbare Funktion:

$f^{\prime }(x)=2e^x(1+x)$

Kettenregel

Eine verkettete Funktion, also eine Funktion, die aus verschiedenen Funktionen zusammengesetzt wurde, leitet man nach der Kettenregel ab.
Die Kettenregel für eine Funktion $f(x)=u(v(x))$ lautet:

$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(v(x))v^{\prime }(x)$

Will man nun die Funktion $f(x)=(5-3x{)}^4$ ableiten, muss man die Funktion wieder in ihre Ursprungsfunktionen zerlegen. Diese wären:

$u(v)=v^4$ und $v(x)=5-3x$.

Die Ableitungen lauten:

$u^{\prime }(v)=4v^3$ und $v^{\prime }(x)=-3$

Nun setzt man die Ableitungen zusammen:

$f^{\prime }(x)=4(5-3x{)}^3(-3)$

Vereinfacht ist das:

$f^{\prime }(x)=-12(5-3x{)}^3$

Quotientenregel

Die Quotientenregel ist dazu da, um gebrochen rationale Funktionen abzuleiten.
Die Quotientenregel für eine Funktion $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ lautet:

$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{(v(x){)}^2}$.

Leitet man nun $f(x)=\frac{2x}{1-x}$ ab, muss man erstmal u(x) und v(x) bestimmen.

$u(x)=2x$ und $v(x)=1-x$

Die Ableitungen lauten:

$u^{\prime }(x)=2$ und $v^{\prime }(x)=-1$

Zusammengesetzt:

$f^{\prime }(x)=\frac{2(1-x)-2x(-1)}{(1-x{)}^2}$

Vereinfacht:

$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(1-x{)}^2}$

Herleitungen

Produktregel

Für den Differenzenquotienten von f gilt:

$\begin{array}{cc}f(x)& =\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{u(x)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{x-x_0}\\ & =\frac{u(x)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x)+u(x_0)\cdot v(x)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{x-x_0}\\ & =\frac{[u(x)-u(x_0)]\cdot v(x)+u(x_0)\cdot [v(x)-v(x_0)]}{x-x_0}\\ & =\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}\cdot v(x)+u(x_0)\cdot \frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\end{array}$

(Um den Differenzquotienten von f auf die Differenzquotienten $\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}$ und $\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}$ zurückzuführen zu können, wird der rot geschriebene Teil eingefügt.)

Die Funktionen u und v sind differenzierbar. Für $x\to x_0$ gilt daher $\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}\to u^{\prime }(x_0)$; $v(x)\to v(x_0)$ und $\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\to v^{\prime }(x_0)$.

Kettenregel

Man definiert

$D(z,z_0):=\{\begin{array}{cc}\frac{u(z)-u(z_0)}{z-z_0},& \text{falls }z\ne z_0,\\ u^{\prime }(z_0),& \text{falls }z=z_0.\end{array}$

Weil $u$ in $z_0$ differenzierbar ist, gilt

$\underset{z\to z_0}{lim}D(z,z_0)=u^{\prime }(z_0),$

das heißt, die Funktion $z\mapsto D(z,z_0)$ ist an der Stelle $z_0$ stetig. Außerdem gilt für alle $z\in U$:

$u(z)-u(z_0)=D(z,z_0)\cdot (z-z_0).$

Daraus folgt

$\begin{array}{cc}(u\circ v{)}^{\prime }(x_0)& =\underset{x\to x_0}{lim}\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{D(v(x),v(x_0))\cdot (v(x)-v(x_0))}{x-x_0}\\ & =\underset{x\to x_0}{lim}D(v(x),v(x_0))\cdot \underset{x\to x_0}{lim}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\\ & =u^{\prime }(v(x_0))\cdot v^{\prime }(x_0).\end{array}$

Quotientenregel

Um Quotienten von Funktionen ableiten zu können, fasst man f als Produkt zweier Funktionen auf mit $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}=u(x)\cdot \frac{1}{v(x)}$. Für die Funktion k mit $k(x)=\frac{1}{v(x)}=v^{-1}(x)$ gilt nach der Kettenregel: $k^{\prime }(x)=-1\cdot v^{-2}(x)\cdot v^{\prime }(x)=-\frac{v^{\prime }(x)}{(v(x){)}^2}$.

Somit ergibt sich für $f(x)=u(x)\cdot \frac{1}{v(x)}$ mithilfe der Produktregel $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{v(x)}+u(x)\cdot (-\frac{v^{\prime }(x)}{(v(x){)}^2})=\frac{u^{\prime }(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\prime }(x)}{(v(x){)}^2}$.