Analysis: Grenzwerte

Grenzwerte von Folgen reeller Zahlen

Definition: Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen. Dann heißt $g\in ℝ$ Grenzwert der Folge genau dann, wenn $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}$ mit $|a_n-g|<ϵ\mathrm{\forall }n>n_0$.

Anschaulich bedeutet dies, dass zu einem beliebig (klein) vorgegebenen positiven "Abstand" $ϵ$ ein Index $n_0$ existiert (der natürlich von $ϵ$ abhängen darf), so dass alle Folgenglieder mit höherem Index einen kleineren Abstand zu $g$ haben als $ϵ$.

Schreibweise: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=g$.

Beispiel: Sei $a_n:=\frac{1}{n}$ für $n\in \mathbb{N}$. Behauptung: $g:=0$ ist Grenzwert der Folge. Dazu müssen wir zeigen, dass $|a_n-g|$ kleiner ist, als jedes vorgegebene $ϵ>0$, wenn nur der Index $n$ groß genug gewählt wird. Wegen $|a_n-g|=|a_n|=\frac{1}{n}$ reicht es aus, $n_0>\frac{1}{ϵ}$ zu wählen (die Existenz einer natürlichen Zahl größer als $\frac{1}{ϵ}$ ist klar nach dem Archimedischen Axiom). Dann folgt für $n>n_0$ die Ungleichung $a_n=\frac{1}{n}<\frac{1}{n_0}<ϵ$ und damit ist gezeigt, dass $g=0$ Grenzwert der Folge ist.