Analysis: Folgen und Reihen: Folgen

Folgen

Ordnet man den natürlichen Zahlen ($\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$) durch irgendeine Vorschrift je eine reelle Zahl zu, so entsteht eine Zahlenfolge $a_1,a_2,a_3,\dots$. Die Zuweisung $n\mapsto a_n$ definiert eine Funktion:

1	2	3	4	5	... (natürliche Zahlen)
$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$
$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$	... (reelle Zahlen)

Definition

Sei $ℐ$ eine unendliche Teilmenge von $\mathbb{N}$ und $𝒳$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die Abbildung: $a:ℐ\to 𝒳$ eine Folge.

• Die Elemente $a_1,a_2,a_3,\dots$ heißen Folgenglieder oder Glieder.
• Das Element $a_0$ (oder manchmal auch $a_1$) heißt Anfangsglied einer Folge.

Darstellungen

• Meistens werden Folgen in der Form $(𝐚{)}_{𝐧}$ oder $({𝐚}_{𝐧}{)}_{𝐧}$geschrieben
• Manchmal werden auch nur die ersten Folgenglieder angegeben

Beispiele

• Mit ${\left(\frac{1}{n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ oder $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ wird die Abbildung $f:\mathbb{N}\to ℝ,n\mapsto \frac{1}{n}$ bezeichnet.
• Durch $a_0:=1$, $a_1:=1$ und $a_{n+2}:=a_{n+1}+a_n$ wird die Folge $1,1,2,3,5,8,13,\dots$ der Fibonacci-Zahlen definiert. (Rekursive Definition)