Analysis: Differenzierbarkeit einer Funktion

Differenzierbarkeit für Funktionen auf Banachräumen

Seien $X$ und $Y$ Banachräume, sei $U\subset X$ offen und sei $f:U\to Y$ eine Funktion. Dann heißt $f$ differenzierbar in $x_0\in U$, falls ein Operator $A_{x_0}\in ℒ(X,Y)$ und eine Funktion ${\phi }_{x_0}:U\to Y$ existieren, so daß folgendes gilt:

1. ${\phi }_{x_0}$ ist stetig in $x_0$ mit ${\phi }_{x_0}(x_0)=0$

2. Für alle $x\in U$ ist $f(x)=f(x_0)+A_{x_0}(x-x_0)+{\phi }_{x_0}(x)\Vert x-x_0\Vert$.

$f$ heißt differenzierbar auf $U$, wenn $f$ differenzierbar in $x_0$ ist für alle $x_0\in U.$

Ist $f$ differenzierbar in $x_0\in U$, dann ist der Operator $A_{x_0}\in ℒ(X,Y)$ eindeutig bestimmt.

Sind nämlich $A_{x_0},B_{x_0}\in ℒ(X,Y)$ und sind ${\phi }_{x_0},{\psi }_{x_0}:U\to Y$ stetig in $x_0$ mit ${\phi }_{x_0}(x_0)=0={\psi }_{x_0}(x_0)$ und $f(x)=f(x_0)+A_{x_0}(x-x_0)+{\phi }_{x_0}(x)\Vert x-x_0\Vert$ bzw. $f(x)=f(x_0)+B_{x_0}(x-x_0)+{\psi }_{x_0}(x)\Vert x-x_0\Vert$ für $x\in U$, dann erhält man durch Subtraktion der Gleichungen nach Umstellen die Gleichung $(A_{x_0}-B_{x_0})(x-x_0)=({\psi }_{x_0}(x)-{\phi }_{x_0}(x))\Vert x-x_0\Vert$ für alle $x\in U$. Ist nun $y\in X$ mit $\Vert y\Vert =1$, dann ist durch $x_n:=x_0+\frac{y}{n}$ eine Folge in $X$ definiert mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x_0$. Setzt man nun $x_n$ für $x$ in obige Gleichung ein, erhält man $(A_{x_0}-B_{x_0})\left(\frac{y}{n}\right)=({\psi }_{x_0}(x_n)-{\phi }_{x_0}(x_n))\frac{1}{n}$ und damit $(A_{x_0}-B_{x_0})(y)=({\psi }_{x_0}(x_n)-{\phi }_{x_0}(x_n))$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Durch Grenzübergang folgt nun mit der Stetigkeit der Funktionen ${\psi }_{x_0}$ und ${\phi }_{x_0}$, daß $(A_{x_0}-B_{x_0})(y)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\psi }_{x_0}(x_n)-{\phi }_{x_0}(x_n))=0$. Also ist $A_{x_0}(y)=B_{x_0}(y)$ für alle $y\in X$ mit $\Vert y\Vert =1$. Für beliebiges $0\ne y\in X$ folgt dann aus der Linearität der Operatoren $A_{x_0}(y)=\Vert y\Vert A_{x_0}\left(\frac{y}{\Vert y\Vert }\right)=\Vert y\Vert B_{x_0}\left(\frac{y}{\Vert y\Vert }\right)=B_{x_0}(y)$ und für $y=0$ ist die Gleichung trivial.

Der somit eindeutig bestimmte Operator $A_{x_0}\in ℒ(X,Y)$ wird meist mit $\partial f(x_0)$ bezeichnet. Die Abbildung $\partial f:x_0\mapsto \partial f(x_0)$ heißt Ableitung der Funktion $f$.

Beispiele:

1. Sei $A\in ℒ(X,Y)$ und sei $f:X\to Y;x\mapsto f(x):=Ax$. Dann ist $f$ differenzierbar auf ganz $X$ mit $\partial f(x)=A$ für alle $x\in X$. Dies folgt einfach aus der Linearität von $A$ wegen $f(x)=Ax=A{x}_0+A(x-x_0)=f(x_0)+A(x-x_0)$ für alle $x,x_0\in X$.

2. Sei $y_0\in Y$ fest und sei $f:X\to Y;x\mapsto f(x):=y_0$. Dann ist $f$ differenzierbar auf ganz $X$ mit $\partial f(x)=0\in ℒ(X,Y)$ für alle $x\in X$. Auch dies ist leicht einsehbar, da $f(x)=y_0=f(x_0)$ für alle $x,x_0\in X$ gilt.

3. Seien $X,Y,Z$ Banachräume, sei $U\subset X$ offen, sei $f:U\to Y$ differenzierbar in $x_0\in U$ und sei $A\in ℒ(Y,Z)$. Dann ist auch die Abbildung $A\circ f:U\to Z;x\mapsto Af(x)$ differenzierbar in $x_0$ mit $\partial (A\circ f)(x)=A\partial f(x)$.

Aus $f(x)=f(x_0)+\partial f(x_0)(x-x_0)+{\phi }_{x_0}(x)\Vert x-x_0\Vert$ folgt wegen Linearität von $A$ die Gleichung $Af(x)=Af(x_0)+A\partial f(x_0)(x-x_0)+A{\phi }_{x_0}(x)\Vert x-x_0\Vert$ und die Funktion $A{\phi }_{x_0}$ ist stetig in $x_0$ als Komposition stetiger Funktionen mit $A{\phi }_{x_0}(x_0)=0$, also ist $\partial (A\circ f)(x)=A\partial f(x)$, d.h. ein Operator $A$, der nach der Funktion $f$ zur Anwendung kommt, kann aus der Ableitung „herausgezogen“ werden. Aber Vorsicht: Stehen $f$ und $A$ in umgekehrter Reihenfolge, folgt aus der Kettenregel: $\partial (f\circ A)(x)=\partial f(Ax)A$.

Differenzierbarkeit reeller Funktionen

Im Fall $X=Y=ℝ$ beachte, daß $ℒ(ℝ,ℝ)$ isometrisch isomorph ist zu $ℝ$ vermöge der kanonischen Einbettung $j:ℝ\to ℒ(ℝ,ℝ);x\mapsto j_x$ mit $j_x(y)=xy$ mit der Inversen $j^{-1}:ℒ(ℝ,ℝ)\to ℝ;T\mapsto T(1)$. Die Aussage „$f:U\to ℝ$ ist differenzierbar in $x_0\in U\subset ℝ$“ bedeutet also die Existenz einer reellen Zahl $m_{x_0}$ sowie einer in $x_0$ stetigen Funktion ${\phi }_{x_0}:U\to ℝ$ mit ${\phi }_{x_0}(x_0)=0$, so daß $f(x)=f(x_0)+m_{x_0}\cdot (x-x_0)+{\phi }_{x_0}(x)|x-x_0|$. Als Schreibweise hierfür wird auch $f^{\prime }(x_0):=m_{x_0}$ verwendet, die Ableitung $\partial f(x)$ kann also wiederum als reelle Funktion aufgefaßt werden und wird mit $f^{\prime }$ bezeichnet.