Analysis: Differentiation: Affine Approximation und Differentialquotient

Hinweis

So, weiß nicht so recht inwiefern bei Mathe noch gearbeitet werden muss und das organisiert ist, habe einfach mal was dazugeschrieben. Es ist nicht 100%ig wissenschaftlich weil etwas flapsig, sondern so, wie ich es meinen Kindern erklären würde. Ergänzungen sind also nötig!

Ermittlung der lokalen Änderungsrate(des Anstieges m)

Veranschaulichung des Differentialquotienten/der lokalen Änderungsrate m durch Tangenten

Veranschaulichung des Differentialquotienten/der lokalen Änderungsrate m durch Tangenten

Die Affine Approximation (schrittweise Annäherung) ist die normale Methode, den Differentialquotienten/die Ableitung an einer Stelle

$x_0$

einer stetigen und differenzierbaren Funktion zu ermitteln.

Der Differentialquotient ist die Änderungsrate m(Anstieg). Diese wird in Abbildung 1 durch die Tangente am Graphen der Funktion $f(x)$ am Punkt $x_0$ repräsentiert. In Abb. 1 wird zuerst eine Gerade durch $x_0$ und $x_2$ gezeichnet. Die nächste Gerade durch $x_0$ und $x_1$ kommt der Tangente durch den Punkt $x_0$ schon näher. Die Tangente und die damit zusammenhängende Änderungsrate m wird also als Grenzwert ermittelt.

$f^{\prime }(x_0)=\underset{x_1\to x_0}{\lim }\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

Der Differentialquotient $\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$
(Abstand der Funktionswerte geteilt durch Abstand der Punkte) ist eben die Änderungsrate m, die sich mit kleiner werdendem $(x_1-x_0)$, also wenn $x_1$ immer näher an $x_0$ heranrückt, der lokalen Änderungsrate m im Punkt $x_0$ immer mehr annähert.

Beispiel: $f(x)=x^2,x_0=3$

$m=f^{\prime }(x_0)=\underset{x_1\to x_0}{\lim }\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

Bei $x_1=5$ $m=f^{\prime }(3)=\frac{f(5)-f(3)}{5-3}=\frac{25-9}{2}=8$

Bei $x_1=4$ $m=f^{\prime }(3)=\frac{f(4)-f(3)}{4-3}=\frac{7}{1}=7$

Bei $x_1=3,5$ $m=f^{\prime }(3)=\frac{f(3,5)-f(3)}{3,5-3}=6,5$

Bei $x_1=3,01$ $m=f^{\prime }(3)=\frac{f(3,01)-f(3)}{3,01-3}=6,01$

Wie man sieht, nähert sich der Differentialquotient im Punkt $x_0=3$ immer mehr dem Wert 6, je mehr man $x_1$ an $x_0=3$ heranschiebt. Der Wert 6 ist also die Ableitung = Änderungsrate im Punkt $x_0=3$ der Funktion $f(x)=x^2$.

Nun ist es natürlich auch möglich, die Ableitung einer ganzen Funktion zu ermitteln. Die Ableitung einer Funktion ist die Funktion $f^{\prime }(x)$, die für jeden Wert $x$ der Funktion $f(x)$ die lokale Änderungsrate im Punkt $f(x_0)$ zurückgibt. Das Verfahren ist analog zum obigen, jetzt werden jedoch ganze Funktionen eingesetzt. Wir nehmen als Beispiel wieder die Funktion $f(x)=x^2$ und stecken zur Vereinfachung den Abstand $(x_1-x_0)$ in die Variable $h$:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x_0+h{)}^2-x_0^2}{h}$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x_0^2+2x_{0}h+h^2-x_0^2}{h}$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2x_{0}h+h^2}{h}$

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h(2x_0+h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }2x_0+h$

Da h ja so klein wie möglich werden soll ($\underset{h\to 0}{\lim }$), kann der Summand $h$ im Term $2x_0+h$ vernachlässigt werden. Der Grenzwert $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x_0+h{)}^2-x_0^2}{h}$ beträgt also $2x$. Die Ableitung der Funktion $f(x)=x^2$ ist $f^{\prime }(x)=2x$.

Dementsprechend können für alle Funktionen, die stetig (in einer Umgebung definiert) und differenzierbar (mit einem solchen Grenzwert) sind, Ableitungen gebildet werden.

Anwendungsbeispiele

Bergsteiger

Wenn man die Kurve von oben als eine seitliche Ansicht eines Berges betrachtet, sind die einzelnen Punkte darauf die Höhe des Berges an der Stelle. Wenn man nun wissen will, wie steil der Berg dort ist, berechnet man einfach die Ableitung. Wenn man zusätzlich noch wissen möchte, wie stark die Steigung dort ansteigt, berechnet man die Ableitung von der Ableitung. Diese nennt man auch 2. Ableitung und schreibt sie mit $f^{″}(x)$.

So erhält man:

• $f(x)$ - Höhe
• $f^{\prime }(x)$ - Steigung
• Das Vorzeichen der Krümmung wird durch das Vorzeichen von $f^{″}(x)$ bestimmt. $\frac{f^{″}(x)}{\sqrt{{(1+f^{\prime }(x{)}^2)}^3}}$ - Krümmung.

Geschwindigkeit

Das gleiche kann man auch mit einer zurückgelegten Strecke machen. Nehmen wir an, dass f(x) die zurückgelegte Strecke eines Autos beschreibt. Dabei ist x die Zeit in Stunden. Also ist f(0)=0 - wir stehen also noch mit dem Auto in der Garage. Bei f(1) sind wir eine Stunde lang gefahren. Sagen wir, wir wären 120km weit mit gleich bleibender Geschwindigkeit gefahren, dann ist f(1)=120.

$f(x)=120*x$

Die Kurve f steigt also gleichmäßig an. Die Geschwindigkeit wird jetzt durch f'(x) beschrieben, was nach ein bisschen Rechnen 120 ergibt.

$f^{\prime }(x)=120$

Da wir die ganze Zeit gleich schnell gefahren sind, war die Beschleunigung 0, was auch dem Ergebnis der 2.Ableitung entspricht.

$f^{″}(x)=0$

• $f(x)$ - Strecke
• $f^{\prime }(x)$ - Geschwindigkeit
• $f^{″}(x)$ - Beschleunigung