Amateurfunklehrgang – Der Weg zur HB9-Lizenz/ Formelsammlung

https://www.hoefner.ch/== Formelsammlung für die Prüfung == Die an der Prüfung zugelassene Formelsammlung kann beim Bakom heruntergeladen werden. An dieser Stelle sind Beispiele und Erklärungen aufgeführt. Diese dürfen an der Prüfung nicht verwendet werden.

Kirchhoffsche Maschenregel

Strom

Die Kirchhoffsche Maschenregel besagt, dass die Summe aller Ströme, die in einen Knoten hinein fliessen, gleich der Summe aller Ströme ist, die aus dem Knoten hinaus fliessen.

$\sum I_{\text{ein}}=\sum I_{\text{aus}}$

Betrachten wir einen Knoten, an dem vier Widerstände $(R_1,R_2,R_3,R_4)$ angeschlossen sind. Jeder Widerstand hat einen zugehörigen Strom $(I_1,I_2,I_3,I_4)$.

Nach dem Ohm’schen Gesetz gilt für jeden Widerstand:

$I_i=\frac{U_i}{R_i}$

Wenn wir annehmen, dass ein Gesamtstrom $(I_{ges})$ in den Knoten hineinfließt und sich auf die vier Widerstände verteilt, dann gilt:

$I_{\text{ges}}=I_1+I_2+I_3+I_4$

Falls die Spannung $(U)$am Knoten bekannhttps://www.hoefner.ch/t ist, können wir die einzelnen Ströme durch die jeweiligen Widerstände berechnen:

$I_1=\frac{U}{R_1},I_2=\frac{U}{R_2},I_3=\frac{U}{R_3},I_4=\frac{U}{R_4}$

Die Summe der Ströme ergibt:

$I_{\text{ges}}=\frac{U}{R_1}+\frac{U}{R_2}+\frac{U}{R_3}+\frac{U}{R_4}$

Damit zeigt die Kirchhoffsche Knotenregel, dass sich der gesamte zufliessende Strom auf die angeschlossenen Zweige aufteilt, sodass die Gesamtbilanz am Knoten immer ausgeglichen bleibt.

Spannung

Die **kirchhoffsche Maschenregel** besagt, dass die Summe aller Spannungen in einer geschlossenen Masche gleich null ist:

$\sum U=0$

Wir nehmen an, dass wir ein Netzwerk von vier Widerständen $(R_1,R_2,R_3,R_4)$ in Serie und eine Spannungsquelle $(U)$ haben.

Um die Spannungsverteilung über die Widerstände zu ermitteln wenden wir das Ohm’schen Gesetz an:

$U_i=R_i\cdot I$

Da es eine Reihenschaltung ist, fliesst überall derselbe Strom $(I)$.

Wenn wir entlang der geschlossenen Masche laufen, erhalten wir:

$U-(U_1+U_2+U_3+U_4)=0$

oder umgestellt:

$U=U_1+U_2+U_3+U_4$

Das bedeutet, dass die angelegte Spannung $(U)$ auf die vier Widerstände aufgeteilt wird.

Die Teilspannungen können wir Berechnen wenn die Widerstände bekannt sind:

$R_{\text{ges}}=R_1+R_2+R_3+R_4$

und der Gesamtstrom berechnen wir auch wieder mit dem Ohm'schen Gesetz:

$I=\frac{U}{R_{ges}}$

Jetzt Lassen sich die Teilspannungen aus Gesamtstrom $(I)$ und dem jeweiligen Teilwiderstand $(R)$ berechnen:

$U_1=R_1\cdot I,U_2=R_2\cdot I,U_3=R_3\cdot I,U_4=R_4\cdot I$

Und es gilt:

$U_1+U_2+U_3+U_4=U$

In einer geschlossenen Schleife geht keine Spannung "verloren" – die Summe aller Spannungen über die Widerstände ergibt 0 resp. entspricht der Quellenspannung.

Ohmsches Gesetz

Das **Ohmsche Gesetz** beschreibt den Zusammenhang zwischen Spannung $(U)$, Strom $(I)$ und Widerstand $(R)$. Es lautet:

$U=R\cdot I$

Je nach gesuchter Grösse kann das Gesetz umgestellt werden nach:

$I=\frac{U}{R}$ $R=\frac{U}{I}$

Beispiel 1: Berechnung der Spannung $(U)$

Gegeben sind ein Widerstand von $(R=10\mathrm{\Omega })$ und ein Strom von $(I=2,A)$. Gesucht ist die Spannung $(U)$:

$U=R\cdot I=10\mathrm{\Omega }\cdot 2A=20V$

Die Spannung beträgt also 20 Volt

Beispiel 2: Berechnung des Widerstands $(R)$

Gegeben sind eine Spannung von $(U=12V)$ und ein Strom von $(I=3A)$. Gesucht ist der Widerstand $(R)$:

$R=\frac{U}{I}=\frac{12V}{3A}=4\mathrm{\Omega }$

Der Widerstand beträgt **4 Ohm**.

Beispiel 3: Berechnung des Stroms $(I)$

Gegeben sind eine Spannung von $(U=24V)$ und ein Widerstand von $(R=8\mathrm{\Omega })$. Gesucht ist der Strom $(I)$:

$I=\frac{U}{R}=\frac{24V}{8\mathrm{\Omega }}=3A$

Der Strom beträgt 3 Ampere.

Elektrische Leistung und Arbeit

Elektrische Leistung

Die elektrische Leistung $(P)$ beschreibt die pro Zeit umgesetzte Energie in einem Stromkreis. Sie wird berechnet mit:

$P=U\cdot I$

Durch Einsetzen des Ohmschen Gesetzes $(U=R\cdot I$ und $I=\frac{U}{R}$ ergeben sich zwei weitere Formeln:

$P=I^2\cdot R$

$P=\frac{U^2}{R}$

Diese Formeln zeigen verschiedene Abhängigkeiten:

$P=U\cdot I$ → Grundformel der Leistung

$P=I^2\cdot R$ → Leistung in einem Widerstand in Abhängigkeit vom Strom

$P=\frac{U^2}{R}$ → Leistung in einem Widerstand in Abhängigkeit von der Spannung

Beispiel: Verlustleistung über einem Widerstand

Gegeben ist ein Widerstand von $R=10\mathrm{\Omega }$ und ein Strom von $I=2A$.

Gesucht ist die Verlustleistung $(P)$:

$P=I^2\cdot R=(2A{)}^2\cdot 10\mathrm{\Omega }=4\cdot 10=40W$

Die Verlustleistung beträgt 40 Watt.

Elektrische Arbeit

Die elektrische Arbeit $(W)$ gibt die in einem Verbraucher umgesetzte Energie über eine bestimmte Zeit $(t)$ an:

$W=P\cdot t$

Da $P=U\cdot I$ gilt, kann die Arbeit auch ausgedrückt werden als:

$W=P\cdot t$

Die Einheit der Arbeit ist Joule $(J)$, wobei $(1J=1Ws)$ gilt.

Beispiel: Berechnung der Arbeit

Ein Gerät mit einer Leistung von $(P=100W)$ läuft für $(t=2)$ Stunden. Gesucht ist die elektrische Arbeit $(W)$:

$W=P\cdot t$

$100W\cdot (2\cdot 3600s)=100\cdot 7200=720000J=720kJ$

Die elektrische Arbeit beträgt 720 kJ oder 0,2 kWh (da $1kWh=3,6\cdot 10^{6}J$).

Effektiv- und Spitzenwerte bei sinusförmiger Wechselspannung

Bei einer sinusförmigen Wechselspannung schwankt die Spannung periodisch zwischen einem positiven und einem negativen Maximalwert. Die wichtigsten Grössen sind:

Spitzenwert (Amplitude)

Der Spitzenwert $(U_{\text{max}})$ oder $(\hat{U})$ ist der höchste Wert der Spannung im positiven oder negativen Bereich:

$U(t)=U_{\text{max}}\cdot \sin (\omega t)$

Genauso gilt für den Strom:

$I(t)=I_{\text{max}}\cdot \sin (\omega t)$

Hierbei ist:

• $U_{\text{max}}$ = maximale Spannung (Amplitude)
• $I_{\text{max}}$ = maximaler Strom (Amplitude)
• $\omega =2\pi f$ = Kreisfrequenz

Effektivwert

Der Effektivwert $(U_{\text{eff}},I_{\text{eff}})$ ist der Gleichspannungswert, der die gleiche Leistung in einem Widerstand erzeugen würde. Er berechnet sich aus dem Spitzenwert:

$U_{\text{eff}}=\frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$

$I_{\text{eff}}=\frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$

Die Umrechnung ergibt:

$U_{\text{eff}}\approx 0,707\cdot U_{\text{max}}$

$I_{\text{eff}}\approx 0,707\cdot I_{\text{max}}$

In der Praxis sind Effektivwerte gebräuchlich. Beispielsweise bedeutet eine Netzspannung von 230 V Wechselspannung, dass der Effektivwert 230 V beträgt, während der Spitzenwert:

$U_{\text{max}}=230\cdot \sqrt{2}\approx 325V$

ist.

Zusammenhang mit der Leistung

Die Leistung in einem Wechselstromkreis mit rein ohmscher Last wird mit den Effektivwerten berechnet:

$P=U_{\text{eff}}\cdot I_{\text{eff}}$

Falls eine Phasenverschiebung $\phi$ vorhanden ist (z.B. in Spulen oder Kondensatoren), gilt:

$P=U_{\text{eff}}\cdot I_{\text{eff}}\cdot \cos \phi$

wobei $\cos \phi$ der **Leistungsfaktor** ist.

Beispiel: Berechnung von Effektivwerten

Ein Sinussignal hat einen Spitzenwert von $U_{\text{max}}=325V$. Gesucht ist der Effektivwert:

$U_{\text{eff}}=\frac{325}{\sqrt{2}}\approx 230V$

Die Netzspannung hat also einen Effektivwert von 230 V, aber einen Spitzenwert von 325 V.

Fazit

• Der Spitzenwert ist der höchste Wert der Spannung oder des Stroms.
• Der Effektivwert gibt die Gleichspannung an, die dieselbe Leistung in einem Widerstand verursachen würde.
• Der Effektivwert beträgt etwa 70,7 % des Spitzenwerts.

Titel	Schema	Formel	Legende
Ohmschens Gesetz		$U=R\times I$	U: Spannung [V] R: WIderstand [Ω] I: Strom [A]
Leistung		$P=U\times I$ $P=\frac{U^2}{R}$ $P=I^2\times R$	P: Leistung [W] R: WIderstand [Ω] U: Spannung [V] I: Stromstärke [A]
Arbeit		$W=P\times t$	W: Arbeit [J] P: Leistung [W] t: Zeit [s]
Widerstand von Drähten		$R=\frac{\rho \times L}{A}$ Hilfsformeln; $A=\frac{d^2\times \pi }{4}$ $A=r^2\times \pi$	R: Widerstand [Ω] ρ: spezifischer Widerstand [Ω·m] L: Länge des Drahtes [m] A: Querschnittsfläche [m²] d: Drahtdurchmesser [m]
Widerstände in Reihenschaltung		$R_{\text{ges}}=R_1+R_2+\dots +R_n$ Sapnnungsteiler: $\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}$ mit $U_{ges}=U_1+U_2$	Rges: Gesamtwiderstand [Ω] R1, R2, ..., Rn: Einzelwiderstände [Ω] Uges: Spannung über alle R [V] U1: Spannung über R1 [V] U2: Spannung über R2 [V]
Spannungsteiler, unbelastet (nicht in Bakom Formelsammlung)		$U_1=\frac{U_g\times R_1}{R_1+R_2}$	U1: Spannung über R1 [Ω] Ug: Gesamtspannung [V] R: Widerstand [Ω]
Widerstände in Parallelschaltung		$\frac{1}{R_{\text{ges}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\dots +\frac{1}{R_n}$ $R_{ges}=\frac{R_1\times R_2}{R_1+R_2}$	R{ges}: Gesamtwiderstand [Ω] R1, R2, ..., Rn: Einzelwiderstände [Ω]
Innenwiderstand		$R_i=\frac{\mathrm{\Delta }U}{\mathrm{\Delta }I}$	Ri: Innenwiderstand einer Spannungsquelle [Ω]
Effektiv- und Spitzenwerte bei sinusförmiger Wechselspannung		$\hat{U}=U_{\text{eff}}\times \sqrt{2}$ $U_{ss}=2\times \hat{U}$	Ueff: Effektivspannung [V] $\hat{U}$: Spitzenwert der Spannung [V]
Periodendauer		$T=\frac{1}{f}$	T: Periodendauer [s] f: Frequenz [Hz]
Kreisfrequenz		$\omega =2\pi \times f$	ω: Kreisfrequenz [rad/s] f: Frequenz [Hz]
Induktiver Widerstand		$X_L=\omega \times L$	XL: Induktiver Widerstand [Ω] ω: Kreisfrequenz [rad/s] L: Induktivität [H]
Induktivitäten in Reihenschaltung		$L_{ges}=L_1+L_2+\dots +L_n$	Lges: Gesamtinduktivität [H] L1, L2, Ln: Einzelinduktivitäten [H]
Induktivitäten in Parallelschaltung		$\frac{1}{L_{\text{ges}}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}+\dots +\frac{1}{L_n}$	Lges: Gesamtinduktivität [H] L1, L2, Ln: Einzelinduktivitäten [H]
Induktivität der Ringspule		$L=\frac{{\mu }_0\times {\mu }_r\times N^2\times A}{l}$	L: Induktivität [H] μ0: Magnetische Feldkonstante [H/m] μr: Relative Permeabilität (dimensionslos) N: Anzahl der Windungen A: Querschnittsfläche der Spule [m²] l: Länge des magnetischen Kreises [m]
Induktivität von Schalenkernspulen		$L=N^2\times A_L$	L: Induktivität [H] N: Anzahl der Windungen AL: Induktivitätsfaktor/Kernfaktor
Magnetische Feldstärke in einer Ringspule		$H=\frac{N\times I}{l}$	H: Magnetische Feldstärke [A/m] N: Anzahl der Windungen I: Stromstärke [A] l: Länge des magnetischen Kreises [m]
Magnetische Flussdichte		$B={\mu }_0\times {\mu }_r\times H$	B: Magnetische Flussdichte [T] μ0: Magnetische Feldkonstante [H/m] μr: Relative Permeabilität (dimensionslos) H\: Magnetische Feldstärke [A/m]
Transformator / Überträger		$V_{\text{ges}}=V_1+V_2+\dots +V_n$	Vges: Gesamtspannung [V] V1, V2, ..., Vn: Teilspannungen [V]
Übersetzungsverhältnis		$\ddot{u}=\frac{N_1}{N_2}=\frac{U_1}{U_2}=\frac{I_1}{I_2}=\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}$	ü: Übersetzungsverhältnis (dimensionslos) N1: Anzahl der Windungen der Primärspule N2: Anzahl der Windungen der Sekundärspule U1: Spannung an der Primärspule [V] U2: Spannung an der Sekundärspule [V] I1: Strom in der Primärspule [I] I2: Strom in der Sekundärspule [I] Z1: Impedanz der Primärspule [Ω] Z2: Impedanz der Sekundärspule [Ω]
Netztrafo		$P_p\approx 1.2\times P_s$$A_{fe}\approx \sqrt{P_p}\times \frac{c{m}^2}{\sqrt{W}}$ $N_v\approx \frac{42}{A_{Fe}}\times \frac{c{m}^2}{V}$
Messbereichserweiterung U
Messbereichserweiterung I
Widerstandsbrücke
Spezifischer Widerstand
Vorwiderstand Lampe
Impedanz		$Z=2\pi fL$	Z: Impedanz [Ω] π: Konstante, 3,14159 f: Frequenz [Hz] L: Induktivität [H]