A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper: Kinematischer Teil: §5

  § 5. Additionstheorem der Geschwindigkeiten

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Die Konstanten w_ξ und w_η sind die Komponenten der Geschwindigkeit des betrachteten Punktes bezüglich k.

Setzt man

$\xi =\beta \left(x-vt\right),\tau =\beta \left(t-\frac{v}{V^2}x\right)$

so erhält man durch Auflösen der Gleichung nach x die eine der beiden Bewegungsgleichungen im System K:

$x=\frac{w_{\xi }+v}{1+\frac{v{w}_{\xi }}{V^2}}t.$

Dies ist die Gleichung einer gleichförmigen Bewegung mit der Geschwindigkeit

$w_x=\frac{w_{\xi }+v}{1+\frac{v{w}_{\xi }}{V^2}}.$

Die Transformation der zweiten Gleichung erfordert etwas mehr Rechenaufwand, da man x mit der oben erhaltenen Gleichung eliminieren muss:

$y=w_{\eta }\beta \left(t-\frac{v}{V^2}x\right)=w_{\eta }\beta t\left(1-\frac{v\left(w_{\xi }+v\right)}{V^2+v{w}_{\xi }}\right).$

Daraus folgt schließlich

$y=\frac{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^2}}{1+\frac{v{w}_{\xi }}{V^2}}{w}_{\eta }t.$

Dies ist wiederum eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit

$w_y=\frac{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^2}}{1+\frac{v{w}_{\xi }}{V^2}}{w}_{\eta }.$

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Zwischenbemerkung: Was soll der Satz »Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt nach unserer Theorie nur in erster Annäherung« bedeuten? Im Detail ist hier Folgendes zu sagen:

1. Zwei Geschwindigkeiten gleicher Richtung (hier: w_ξ und v) dürfen nicht einfach summiert werden.

2. Die beiden Geschwindigkeitskomponenten werden nicht in gleicher Weise transformiert.

3. Dass sich w_x = dx /dt und w_y = dy /dt vektoriell addieren (also nach dem Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten) versteht sich von selbst und wird von Einstein hier auch benutzt.

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