A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper: Elektrodynamischer Teil: §9

§ 9. Transformation der Maxwellschen Gleichungen mit Berücksichtigung der Konvektionsströme

In dem betrachteten Raumstück sei keine Materie (Dielektrikum) vorhanden, jedoch bewegte elektrische Ladungen, die kontinuierlich (aber nicht notwendig gleichmäßig) im Raum verteilt seien. Diese Raumladungen mit der Raumladungsdichte

$\rho =\underset{\mathrm{\Delta }V\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }V}=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}V}$

bewirken zweierlei:

1. Sie sind Quellen eines elektrischen Feldes, für das (im CGS-System) gilt:

$4\pi \rho =\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z},$

2. sie stellen wegen ihrer Geschwindigkeit u elektrische Ströme im Raum (»Konvektionsströme«) dar. Für die Stromdichte j gilt:

$\overrightarrow{j}=\rho \overrightarrow{u}.$

Damit lautet die 1. Maxwellsche Gleichung (mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c = V):

$\mathrm{rot}\overrightarrow{H}=\frac{1}{V}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}+\frac{1}{V}4\pi \rho \overrightarrow{u}.$

Um den lästigen Faktor 4π loszuwerden, ersetzt Einstein 4π ρ durch ρ(das nunmehr das 4 π-fache der Raumladungsdichte bedeutet) und schreibt das 1. Maxwelsche Gesetz in der Komponentendarstellung wie unten angegeben. Das 2. Maxwellsche Gesetz bleibt unverändert.

Datei:Einstein 916.PNG

Nach dem Absatz »Transformiert man diese Gleichungen (...) so erhält man die Gleichungen:« klafft offensichtlich eine Lücke im Text: Es fehlen nämlich die angekündigten transformierten Gleichungen, von denen die ersten drei lauten:

$\frac{1}{V}\left[\frac{u_x-v}{1-\frac{u_{x}v}{V^2}}\beta \left(1-\frac{u_{x}v}{V^2}\right)\rho +\frac{\partial X}{\partial \tau }\right]=\beta \frac{\partial \left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial \eta }-\beta \frac{\partial \left(M-\frac{v}{V}Z\right)}{\partial \zeta },$

$\frac{1}{V}\left[\frac{u_y}{\beta \left(1-\frac{u_{x}v}{V^2}\right)}\beta \left(1-\frac{u_{x}v}{V^2}\right)\rho +\beta \frac{\partial \left(Y-\frac{v}{V}N\right)}{\partial \tau }\right]=\frac{\partial L}{\partial \zeta }-\beta \frac{\partial \left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial \xi },$

$\frac{1}{V}\left[\frac{u_z}{\beta \left(1-\frac{u_{x}v}{V^2}\right)}\beta \left(1-\frac{u_{x}v}{V^2}\right)\rho +\beta \frac{\partial \left(Z+\frac{v}{V}M\right)}{\partial \tau }\right]=\beta \frac{\partial \left(M+\frac{v}{V}Z\right)}{\partial \xi }-\frac{\partial L}{\partial \eta }.$

Ferner fehlt dem Sinn nach folgender Text:

Nach dem Relativitätsprinzip müssen die Maxwellschen Gleichungen im System k genau so lauten wie in K, also:

$\mathrm{rot}\overrightarrow{H^{\prime }}=\frac{1}{V}\frac{\partial \overrightarrow{E^{\prime }}}{\partial \tau }+\frac{1}{V}4\pi {\rho }^{\prime }\overrightarrow{u^{\prime }},\mathrm{rot}\overrightarrow{E^{\prime }}=\frac{\partial \overrightarrow{H^{\prime }}}{\partial \tau },$

oder in Komponenten ausgedrückt (und nun müssten die im Text angeführten Gleichungen folgen):

Datei:Einstein 916-1.PNG

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Die Transformation soll hier am Beispiel der ersten Gleichung skizziert werden, wobei ich zur Abkürzung auf den Rechengang im § 6 verweise. Zunächst werden die partiellen Ableitungen nach t, y und z wieder durch solche nach &xi, η und ζ ersetzt. Dadurch erhält man zunächst:

$\frac{1}{V}\left(u_x\rho -\beta v\frac{\partial X}{\partial \xi }+\beta \frac{\partial X}{\partial \tau }\right)=\frac{\partial N}{\partial \eta }-\frac{\partial M}{\partial \zeta }.(5)$

Zur Eliminierung von $\frac{\partial X}{\partial \xi }$ transformieren wir zunächst

$\frac{\partial X}{\partial x}=\beta \frac{\partial X}{\partial \xi }-\beta \frac{v}{V^2}\frac{\partial X}{\partial \tau }$

und setzen dies in die Divergenzgleichung

$\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=\rho$

ein. Das ergibt

$\beta \frac{\partial X}{\partial \xi }-\beta \frac{v}{V^2}\frac{\partial X}{\partial \tau }=\rho -\frac{\partial Y}{\partial y}-\frac{\partial Z}{\partial z}=\rho -\frac{\partial Y}{\partial \eta }-\frac{\partial Z}{\partial \zeta },$

woraus folgt

$\beta \frac{\partial X}{\partial \xi }=\rho +\beta \frac{v}{V^2}\frac{\partial X}{\partial \tau }-\frac{\partial Y}{\partial \eta }-\frac{\partial Z}{\partial \zeta }.$

In Gleichung (5) eingesetzt ergibt:

$\frac{1}{V}\left(u_x\rho -v\rho -\beta \frac{v^2}{V^2}\frac{\partial X}{\partial \tau }+v\frac{\partial Y}{\partial \eta }+v\frac{\partial Z}{\partial \zeta }+\beta \frac{\partial X}{\partial \tau }\right)=\frac{\partial N}{\partial \eta }-\frac{\partial M}{\partial \zeta },$

$\frac{1}{V}\left[\left(u_x-v\right)\rho +\left(\beta -\beta \frac{v^2}{V^2}\right)\frac{\partial X}{\partial \tau }\right]=\frac{\partial N}{\partial \eta }-\frac{\partial M}{\partial \xi }-\frac{v}{V}\frac{\partial Y}{\partial \eta }-\frac{v}{V}\frac{\partial Z}{\partial \zeta },$

$\frac{1}{V}\left[\left(u_x-v\right)\rho +\beta \left(1-\frac{v^2}{V^2}\right)\frac{\partial X}{\partial \tau }\right]=\frac{\partial \left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial \eta }-\frac{\partial \left(M+\frac{v}{V}Z\right)}{\partial \xi },$

und nach Multiplikation mit β:

$\frac{1}{V}\left[\left(u_x-v\right)\beta \rho +\frac{\partial X}{\partial \tau }\right]=\beta \frac{\partial \left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial \eta }-\beta \frac{\partial \left(M+\frac{v}{V}Z\right)}{\partial \zeta },$

$\frac{1}{V}\left[\frac{u_x-v}{1-\frac{u_{x}v}{V^2}}\beta \left(1-\frac{u_{x}v}{V^2}\right)\rho +\frac{\partial X}{\partial \tau }\right]=\beta \frac{\partial \left(N-\frac{v}{V}Y\right)}{\partial \eta }-\beta \frac{\partial \left(M-\frac{v}{V}Z\right)}{\partial \zeta }.$

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Ein Vergleich der transformierten Gleichungen mit denen, die durch Anwendung des Relativitätsprinzips gewonnen wurden, ergibt dann neben den aus § 6 schon bekannten Beziehungen zwischen den Feldstärken in beiden Systemen die wichtigen Gleichungen

$u_{\xi }=\frac{u_x-v}{1-\frac{u_{x}v}{V^2}},u_{\eta }=\frac{u_y}{\beta \left(1-\frac{u_{x}v}{V^2}\right)},u_{\zeta }=\frac{u_z}{\beta \left(1-\frac{u_{x}v}{V^2}\right)},$

die nichts anderes sind als die Additionstheoreme der Geschwindigkeit. Ferner erhalten wir eine Aussage über die Transformation der Raumladungsdichte

${\rho }^{\prime }=\beta \left(1-\frac{u_{x}v}{V^2}\right)\rho .$

Datei:Einstein 917-1.PNG

Dieser "wichtige Satz" ist allerdings reichlich trivial. Aber ein anderer, wirklich wichtiger Satz kann hier bewiesen werden: Die elektrische Ladung eines Körpers hat für alle Beobachter – unabhängig von deren Relativgeschwindigkeit zur Ladung – dieselbe Größe. (Diese Tatsache glaubte Einstein früher ohne weiteren Beweis aus dem Relativitätsprinzip ableiten zu können. Siehe dazu § 6.) Den Beweis kann man so führen: Im System K ruhe eine Kugel vom Radius r. Sie umschließe eine elektrische Ladung mit der konstanten Raumladungsdichte ρ. Ihre Ladung ist dann

$Q=\frac{4}{3}\pi r^3\rho .$

Für einen Beobachter in k mit der Relativgeschwindigkeit v ist diese Kugel ein Rotationsellipsoid, dessen in Bewegungsrichtung liegend Halbachse die Länge

$r^{\prime }=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}r$

(c = Vakuumlichtgeschwindigkeit)

hat. Sie besitzt daher für den Beobachter in k das Volumen

$V^{\prime }=\frac{4}{3}\pi r^3\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$

Die Raumladungsdichte der elektrischen Ladung für diesen Beobachter ist (mit u_x = 0)

${\rho }^{\prime }=\frac{\rho }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$

Die Ladung der Kugel ist daher

$Q^{\prime }=V^{\prime }{\rho }^{\prime }=\frac{4}{3}\pi r^3\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{\rho }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=Q.$