A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper: Elektrodynamischer Teil: §8

§ 8. Transformation der Energie der Lichtstrahlen. Theorie des Strahlungsdrucks

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Bezeichnungen wie »Lichtenergie pro Volumeneinheit« gelten heute als unkorrekt und wurden durch »Energiedichte« ersetzt. Im zweiten Halbsatz ist der Begriff »Lichtenergie« schlicht falsch.

Mit einem »Lichtkomplex« meint Einstein die in einem bestimmten Volumen – zum Beispiel in einer Kugel – vorhandenen Lichtwellen.

Aus der allgemeinen Kugelgleichung entsteht durch Anwendung der inversen Transformationsgleichungen auf die Koordinaten x, y, z und t die Gleichung eines mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Ellipsoids. Einstein macht von diesem Ellipsoid zur Zeit τ = 0 eine Momentaufnahme. So entsteht die zweite Gleichung. Das Volumen dieses Ellipsoids finden wir durch eine Integration:

Für ξ = 0 erhält man die Gleichung des Kreises, in dem das Ellipsoid die ΗΖ-Ebene (Eta-Zeta-Ebene) schneidet:

${\eta }^2+{\zeta }^2=R^2.$

Für einen beliebigen Wert von ξ erhält man den Schnittkreis des Ellipsoids mit der Ebene ξ = konst. Für dessen Radius r gilt:

$r^2=R^2-{\beta }^2{\xi }^2{\left(1-\frac{av}{V}\right)}^2.$

Der Radius r wird null in dem am weitesten links bzw. rechts gelegenen Punkt des Ellipsoids. Für diese Punkte gilt daher:

${\xi }_{1,2}=\mp \frac{R}{\beta \left(1-\frac{av}{V}\right)}.$

Damit ergibt sich das Volumen des Ellipsoids:

$S^{\prime }=\pi \underset{{\xi }_1}{\overset{{\xi }_2}{\int }}\left[R^2-{\beta }^2{\xi }^2{\left(1-\frac{av}{V}\right)}^2\right]\mathrm{d}\xi =\frac{4\pi R^3}{3\beta \left(1-\frac{av}{V}\right)}=S\frac{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^2}}{1-\frac{v}{V}\cos \phi }.$

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Zur Erläuterung:

Die mittlere Energiedichte des Wellenfeldes im CGS-System ist (s. S. 913)

$w=\frac{W}{V}=\frac{A^2}{8\pi },$

wobei A die Amplitude des elektrischen (oder magnetischen) Feldvektors ist. Vom System K aus gesehen beträgt die Horizontalkomponente der Geschwindigkeit der Welle gegenüber dem Spiegel

$v_h=V\cos \phi -v.$

Das in der Zeit t auf die Spiegelfläche a treffende Lichtenergie ist demnach

$W_1=\frac{A^2}{8\pi }(V\cos \phi -v)at,$

die flächen- und zeitbezogene Energie ist

$\frac{W_1}{at}=\frac{A^2}{8\pi }\left(V\cos \phi -v\right)=\frac{A^2}{8\pi }V\left(\cos \phi -\frac{v}{V}\right).$

Anmerkung: Innerhalb des Textes muss dieser Ausdruck exakter Weise mit zwei Klammern geschrieben werden: (A²/8 π)(V cos φ – v).

Für die reflektierte flächen- und zeitbezogene Energie gilt entsprechend

$\frac{W_2}{at}=\frac{{\left(A^{‴}\right)}^2}{8\pi }\left(-V\cos {\phi }^{‴}+v\right)=\frac{{\left(A^{‴}\right)}^2}{8\pi }V\left(-\cos {\phi }^{‴}+\frac{v}{V}\right).$

Die Differenz ist die auf den Spiegel übertragene flächen- und zeitbezogene Energie:

$\frac{\mathrm{\Delta }W}{at}=\frac{W_2-W_1}{at}=\frac{P}{a},$

wobei P die Leistung und P / a die flächenbezogene Leistung dieses Vorgangs ist. Nun ist

$P=Fv\text{und}\frac{P}{a}=\frac{F}{a}v=pv,$

wobei F der Betrag der auf den Spiegel ausgeübte Kraft und F / a = p der ausgeübte Druck ist.

Durch Ausführung der Transformationen findet man

$\frac{\mathrm{\Delta }W}{at}=2\frac{A^2}{8\pi }v\frac{{\left(\cos \phi -\frac{v}{V}\right)}^2}{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^2},$

und durch Vergleich schließlich das angegebene Ergebnis, wobei P durch p zu ersetzen ist.

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