Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Summen

Einführung

Summen sind speziell in den Sozialwissenschaften ein unverzichtbares Instrument. Summen sind inhaltlich zwar ein Bestandteil von Reihen. Allerdings wird in diesem Zusammenhang selten auf bestimmte Eigenschaften von Summen eingegangen, so dass diesen hier ein eigener Abschnitt gewidmet wird.

Beispiel:

Umsatz (in 1000 Euros) der letzten 5 Monate eines Möbelhauses:

Monat Nr. i	1	2	3	4	5
Umsatz xi	x1=2500	x2=2800	x3=2900	x4=3000	x5=3200

Gesamtumsatz U des Möbelhauses:

$U=\sum _{i=1}^5{x}_i=2500+2800+...+3200=14400$.

Allgemein: $\sum _{i=r}^n{x}_i$

(i, r, n ∈ ℤ, r ≤ n). i wird als Summationsindex bezeichnet. r ist der Summationsanfang, n das Summationsende.

Weitere Beispiele:

1. $\sum _{i=1}^{20}i=1+2+3+...+20=\frac{20\cdot 21}{2}=210$.
2. $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i=(-1{)}^1+(-1{)}^2+(-1{)}^3...=-1+1-1+1...$ Hier kann man kein Ergebnis angeben: -1 oder 0?
3. Bestandsveränderungen eines Lagers im Jahr t (2000: 0; 2001: 1; 2002: 2; ...):

$\sum _{t=0}^4=1000+500-300+2000+1500$. Wir beachten, dass es 2002 mehr Ab- als Zugänge gab.

Rechenregeln für Summen

anhand von Beispielen:

1. Im Allgemeinen werden die Summenargumente in Klammern gesetzt. Lediglich Produktausdrücke werden ohne Klammern nach dem Summenzeichen aufgeführt.

Beispiel:

$\sum _{i=1}^3(x_i+1)=x_1+1+x_2+1+x_3+1$ .

$\sum _{i=1}^3{x}_i+1=x_1+x_2+x_3+1$.

2. $\sum _{i=1}^n(x_i+y_i)=\sum _{i=1}^n{x}_i+\sum _{i=1}^n{y}_i$

wegen $=x_1+y_1+x_2+y_2+x_3+y_3+...=x_1+x_2+x_3+...+y_1+y_2+y_3+...=\sum _{i=1}^n{x}_i+\sum _{i=1}^n{y}_i$.

3. $\sum _{i=1}^n(a+b{x}_i)=na+b\sum _{i=1}^n{x}_i,$ a,b const.

Beispiel:

$\sum _{i=1}^5(3+2x_i)=3+2x_1+3+2x_2+3+2x_3+3+2x_4+3+2x_5=5\cdot 3+2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=5\cdot 3+2\sum _{i=1}^5{x}_i$.

4. Summen können bezüglich des Indexes zerlegt werden: $\sum _{i=r}^n{a}_i=\sum _{i=r}^m{a}_i+\sum _{i=m+1}^n{a}_i$, m < n.

Beispiel:

$\sum _{i=3}^{10}{i}^2=9+16+25+36+49+64+81+100$.

$=(9+16+25)+(36+49+64+81+100)=\sum _{i=3}^5{i}^2+\sum _{i=6}^{10}{i}^2$.

5. Achtung: $\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot y_i\ne \sum _{i=1}^n{x}_i\cdot \sum _{i=1}^n{y}_i$.

Beispiel:

$\sum _{i=1}^{3}i\cdot \frac{1}{i}=\frac{1}{1}+\frac{2}{2}+\frac{3}{3}=3$.

$\sum _{i=1}^{3}i\cdot \sum _{i=1}^3\frac{1}{i}=(1+2+3)\cdot (\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=6\cdot \frac{11}{6}\ne 3.$

Doppelsummen

Beispiel:

Ein Verlag will eine Fernsehzeitschrift rausbringen. Er versieht die Zeitschrift mit 3 verschiedenen Titeln und lässt sie in einem Supermarkt auslegen. Es kauften nach Geschlecht getrennt:

Titel	TV-Film	Film-TV	TV und Film	Σ
Männlich	1	3	7	11
Weiblich	2	5	8	15
Σ	3	8	15	26

Diese Tabelle hat zwei Zeilen und drei Spalten. i ist der Zeilenindex, j der Spaltenindex. Allgemein sieht unsere Tabelle dann so aus:

	j = 1	j = 2	j = 3	$\sum _{j=1}^3{a}_{ij}=a_{i.}$
i = 1	$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$	$a_{1.}$
i = 2	$a_{21}$	$a_{22}$	$a_{23}$	$a_{2.}$
$\sum _{i=1}^2{a}_{ij}=a_{.j}$	$a_{.1}$	$a_{.2}$	$a_{.3}$	$a_{..}$

Allgemeine Bezeichnungsweise:

• Element $a_{ij}(i=1,...,m;j=1,...,n),$
• Summe über alle Zeilen: $\sum _{i=1}^m{a}_{ij}=a_{.j},$
• Summe über alle Spalten: $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=a_{i.},$
• Summe über alle $a_{ij}$: $\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=a_{..}.$

Es kann zeilen- oder spaltenweise aufsummiert werden.

Beispiel: $1+3+7+2+5+8$ oder $1+2+3+5+7+8$ .

Rechenregeln bei Doppelsummen:

1. $\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n(b+c\cdot a_{ij})=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n(b+c\cdot a_{ij})=m\cdot n\cdot b+c\cdot \sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}$.

Beispiel von oben mit b = 5 und c = 4:

$\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^3(5+4\cdot a_{ij})=5+4\cdot 1+5+4\cdot 3+5+4\cdot 7+5+4\cdot 2+5+4\cdot 5+5+4\cdot 8$

$=6\cdot 5+4(1+3+7+...+8)=30+4\cdot \sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^3{a}_{ij}$.

2. $\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{b}_j\cdot a_{ij}=\sum _{j=1}^n{b}_j\cdot \sum _{i=1}^n{a}_{ij}.$

Beispiel von oben: Der Preis für eine Zeitschrift sei 2, 3 bzw. 4 Euros ($b_j$). Es wurde dann insgesamt umgesetzt:

$2\cdot 1+3\cdot 3+4\cdot 7+2\cdot 2+3\cdot 5+4\cdot 8=\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^3{b}_j\cdot a_{ij}$

$2\cdot (1+2)+3\cdot (3+5)+4\cdot (7+8)=b_1\cdot \sum _{i=1}^2{a}_{i1}+b_2\cdot \sum _{i=1}^2{a}_{i2}+b_3\cdot \sum _{i=1}^2{a}_{i3}=\sum _{j=1}^n{b}_j\cdot \sum _{i=1}^n{a}_{ij}.$

3. Es gibt natürlich auch kompliziertere Mehrfachsummen, z.B. $\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^p\sum _{l=1}^q{a}_{ijkl}.$

Übungen zu Summen

1. Berechnen Sie

$\sum _{i=0}^4\frac{i}{i+1}$

$\sum _{i=-2}^{3}a$

2. Vereinfachen Sie

$\sum _{j=-3}^2(k-j{)}^2$

3. Schreiben Sie die folgenden Summen mit dem Summenzeichen

$1+8+27+64+125$

$5+\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{2}{27}+\frac{1}{81}$

$1-3+5-7+8$

4. Gegeben ist die folgende Tabelle, wobei i die Nummer der Zeile und j die Nummer der Spalte bezeichnen.

 5  8 2 3
 1 -2 1 0
-6  1 7 5

a. Geben Sie an

$\sum _{i=1}^2\sum _{j=3}^4{x}_{ij}$

$\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^4{x}_{ij}$

b. Stellen Sie in Summennotation dar

Summe der 4. Spalte

Summe der 2. Zeile

Summe der Tabellen-Elemente unterhalb der x_ii-Werte.

5. Ermitteln Sie die Summe

$\sum _{k=5}^{100}\frac{1}{(k-1)k}$

Hinweis: Es gilt

$\frac{1}{(k-1)k}=\frac{1}{(k-1)}-\frac{1}{(k)}$

6. Vereinfachen Sie

$\sum _{i=1}^5(2-3x_i)+\sum _{i=1}^5(10x_i-4)$

$\sum _{i=0}^{n+1}(3+5x_i)-\sum _{i=1}^n(x_i-1)-2\sum _{i=0}^n(3x_i+1)$

7. Es ist der arithmetische Durchschnitt von n vielen Werten x_i definiert als

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln bei Summen, dass gilt

$\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n\cdot \stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}$

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