Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linksinverse

Injektivität und linksinverse Abbildung

$f : A \to B$ sei eine Abbildung und $A \neq \emptyset$ .

$f$ ist injektiv $⟺$ $f$ hat eine Linksinverse $g$ .

(Dabei heißt $g : B \to A$ eine Linksinverse zu $f$ , wenn $g \circ f = {i d}_{A}$ gilt.)

$\Rightarrow$ : $f$ werde als injektiv vorausgesetzt. $a$ sei ein fest gewähltes Element aus dem (nichtleeren) Definitionsbereich $A$ . Die gesuchte linksinverse Abbildung $g : B \to A$ wird nun definiert durch
$g (y) : = x$ , falls $y$ in der Bildmenge von $f$ liegt und $f (x) = y$ ist (da $f$ injektiv ist, ergibt sich $x$ eindeutig aus $y$ ).

$g (y) : = a$ , falls $y$ nicht in der Bildmenge von $f$ liegt.

$\Leftarrow$ : Es gelte $g \circ f = {i d}_{A}$ . Nun seien $x, y \in A$ mit $f (x) = f (y)$ gegeben. Wir müssen $x = y$ zeigen.
Dazu wird $g$ auf die Gleichung $f (x) = f (y)$ angewendet, was $g (f (x)) = g (f (y))$ ergibt. Mit der Eigenschaft der Linksinversen haben wir ${i d}_{A} (x) = {i d}_{A} (y)$ , also $x = y$ .