Mathe für Nicht-Freaks: Epimorphismus (Lineare Algebra)

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Lineare Abbildungen erhalten Linearkombinationen. Wir lernen nun spezielle lineare Abbildungen kennen, die Erzeugendensysteme erhalten. Diese nennt man Epimorphismen.

Motivation und Herleitung

Im Artikel über Monomorphismen haben wir lineare Abbildungen betrachtet, welche linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren abbilden. Dort haben wir herausgefunden, dass diese Abbildungen genau injektive lineare Abbildungen sind. Injektiven lineare Abbildungen "erhalten" also die lineare Unabhängigkeit.

Mit Hilfe der linearen Unabhängigkeit konnten wir den intuitiven Dimensionsbegriff durch Begriffe der linearen Algebra ausdrücken. Dafür brauchen wir auch den Begriff des Erzeugendensystems. Also fragen wir uns: Welche linearen Abbildungen bildet ein Erzeugendensystem des Urbildraums auf ein Erzeugendensystem des Bildraums ab?

Seien also $V,W$ zwei $K$-Vektorräume über demselben Körper $K$ und $\{v_1,\dots ,v_n\}\subseteq V$ ein Erzeugendensystem. Welche Eigenschaften muss eine lineare Abbildung $f:V\to W$ nun haben, damit $\{f(v_1),\dots ,f(v_n)\}$ ein Erzeugendensystem vom Vektorraum $W$ ist? Dafür müsste ein beliebiges $w\in W$ als eine Linearkombination der $f(v_i)$ dargestellt werden können. Das bedeutet, wir müssen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$ finden, sodass Vorlage:Einrücken Da die Abbildung $f$ linear ist, ist das äquivalent zu Vorlage:Einrücken Also muss $w$ im Bild von $f$ liegen. Das soll für jedes $w\in W$ gelten. Somit ist $f(V)=W$ eine notwendige Bedingung, damit $f$ Erzeugendensysteme erhält.

Ist das auch ein hinreichende Bedingung? Gelte $f(V)=W$. Wir überlegen, ob jedes $w\in W$ als Linearkombination der $f(v_i)$ darstellbar ist. Wegen $f(V)=W$ gibt es für $w\in W$ einen Vektor $v\in V$ mit $f(v)=w$. Da $v_1,\dots ,v_n$ ein Erzeugendensystem von $V$ ist, gibt es ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ mit Vorlage:Einrücken Damit folgt für $w$: Vorlage:Einrücken Also liegt $w$ im Erzeugnis der $f(v_i)$.

Die lineare Abbildung $f$ erhält somit genau dann Erzeugendensysteme, wenn $f(V)=W$. Außerdem erfüllt $f$ genau dann die Bedingung $f(V)=W$, wenn $f$ surjektiv ist. Eine lineare Abbildung muss also surjektiv sein, um die Erzeugendeneigenschaft zu erhalten. Surjektive lineare Abbildungen nennen wir Epimorphismen.

Äquivalente Charakterisierungen von Epimorphismen Vorlage:Anker

Wir haben uns schon in der Motivation überlegt, dass surjektive lineare Abbildungen genau die Abbildungen sind, die Erzeugendensysteme erhalten. Weil der Fall endlicher Erzeugendensysteme wichtiger als die allgemeine Aussage ist, zeigen wir nun dieses zuerst. Danach überlegen wir, was wir für den allgemeinen Fall ändern müssen: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Jetzt schauen wir auf den allgemeinen Fall:

Wir werden jetzt noch eine zweite (kategorientheoretische) Charakterisierung von Epimorphismen kennen lernen, die "Rechtskürzbarkeit":

Epimorphismen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen

Die Eigenschaft von Epimorphismen, Erzeugendensysteme zu erhalten führt uns zu folgender Überlegung:

Aufgaben

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}