Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/ Uneigentliche Integrale

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Beim Uneigentlichen Integral handelt es sich um eine Erweiterung des Integrallbegriffes auf unbeschränkte Intervalle und unbeschränkte Funktionen.

Motivation

Wir haben bereits in den Kapiteln Das Integral und Riemann-Integral verschiedene Definitionen des Begriffes Integral von $f$ kennengelernt. Alle diese Definitionen haben eines gemeinsam, dass der Integrand $f:[a,b]\to ℝ$ auf dem kompakten Intervall $[a,b]$ beschränkt ist. Dies stellt eine große Einschränkung dar, da somit viele Funktionen schon per Definition nicht integrierbar sind.

Aus diesem Grund wollen wir daher unseren Integralbegriff erweitern. Einerseits soll es dann auch möglich sein, Funktionen über unbeschränkte Intervalle wie $[-\mathrm{\infty },5]$ zu integrieren. Andererseits möchten wir auch Funktionen integrieren, die auf ihrem Rand ihres Definitionsbereiches gegen $\mathrm{\infty }$ oder $-\mathrm{\infty }$ konvergieren, daher unbeschränkt sind.

Die Erweiterung des Integrallbegriffes auf unbeschränkte Intervalle wird uneigentliches Integral 1. Art genannt, die auf unbeschränkte Funktionen uneigentliches Integral 2. Art.

Beispiele

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