Mathe für Nicht-Freaks: Monotoniekriterium: Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung einer Funktion

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}

Monotoniekriterium

Das Monotoniekriterium für die Ableitung wird bereits in der Schule behandelt. Ist die Ableitungsfunktion $f^{\prime }$ einer differenzierbaren Funktion $f$ auf einem Intervall $(a,b)$ nicht-negativ beziehungsweise nicht-positiv, so ist $f$ auf $(a,b)$ monoton steigend beziehungsweise monoton fallend. Ist $f$ sogar echt positiv beziehungsweise echt negativ auf $(a,b)$, so ist $f$ dort streng monoton steigend beziehungsweise fallend. Im ersten Fall gilt auch die Umkehrung der Aussage. Sprich: Steigt eine differenzierbare Funktion auf $[a,b]$ monoton, so ist $f^{\prime }(x)\ge 0$ und eine auf $[a,b]$ fallende und ableitbare Funktion besitzt eine negative Ableitung.

Beweis

Die Hinrichtungen des Satzes folgen allesamt aus dem Mittelwertsatz. Die Rückrichtungen der ersten beiden Aussagen folgen aus der Differenzierbarkeit der Funktion:

Übungsaufgaben

Notwendiges und hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}